Question

已知△ABC的頂點分別為A（0，0），B（

9

5

m，

12

5

m），C（c，0），其中c＞0
（1）若c=5，m=1，P是△ABC（含邊界）內一點，P到三邊 AB、BC、AC的距離分別為x，y和z，求x+y+z的取值范圍；
（2）若m≠0，BC=5，求△ABC周長的最大值．

Answer 1

分析：（1）先判斷三角形ABC的形狀，求出三角形的面積表達式，推出x+y+z的表達式，P是△ABC（含邊界）內一點，P到三邊 AB、BC、AC的距離分別為x，y和z，推出 x，y，z的約束條件，通過線性規(guī)劃求出x+y+z的取值范圍；
（2）通過m＞0，求出cosA=

3

5

，利用余弦定理以及基本不等式，求出b+c的范圍，然后求出三角形的周長的最大值．
當m＜0時，利用三角形是鈍角三角形，通過AB＜BC，AC＜BC，推出三角形的周長小于m＞0時三角形的周長的最大值，得到結論．

解答：解：（1）AB=3，Ac=5，BC=4；△ABC 是直角三角形     …（2分）
  2S_△ABC=3x+4y+5z=12⇒x+y+z=

12

5

+

1

5

(2x+y)   …（4分）

設t=2x+y，因為P是△ABC（含邊界）內一點，P到三邊 AB、BC、AC的距離分別為x，y和z，
所以

3x+4y≤12 x≥0 y≥0

   由線性規(guī)劃得0≤t≤8
∴

12

5

≤x+y+z≤4                                         …（8分）
注：3x+3y+3z≤3x+4y+5z≤5x+5y+5z得到

12

5

≤x+y+z≤4可得（5分），若給出了等號成立條件可全分．
（2）當m＞0時
由B（

9

5

m，

12

5

m），得tanA=

4

3

，∴cosA=

3

5

；             …（10分）
△ABC中，由余弦定理有：
25=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-

16

5

bc≥

1

5

（b+c）²；當且僅當b=c時取等號，所以b+c≤5

5

所以，三角形的周長最大值為5+5

5

                                       …（14分）
當m＜0時，∠BAC為鈍角，AB＜BC，AC＜BC，AB+BC+AC＜15＜5+5

5

綜上所述，△ABC周長的最大值為5+5

5

．                   …（16分）

點評：本題是解三角形中的難題，考查三角形的形狀的判斷，余弦定理，基本不等式的應用，線性規(guī)劃的應用，分類討論思想以及計算能力．