Question

給出下列四個(gè)命題
①函數(shù)y=a^x（a＞0且a≠1）與函數(shù)y=log_a（a＞0且a≠1）的定義域相同；
②函數(shù)y=x³與y=3^x的值域相同；
③“a=1”是“函數(shù)f（x）=是在定義域上的奇函數(shù)”的充分不必要條件；
④函數(shù)y=（x-1）²與y=2^x-1在區(qū)間[0，+∞）上都是減函數(shù)
其中正確的命題是    ．（將所有正確的命題序號(hào)填在橫線上）．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)函數(shù)定義域求法，可得①是真命題；根據(jù)冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的值域求法，可得②是假命題；根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，用比較系數(shù)法加以驗(yàn)證可得③當(dāng)中應(yīng)該是充要條件，故不正確；根據(jù)二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得到④不正確．由此得到本題的答案．
解答：解：由于y=a^x（a＞0且a≠1）與函數(shù)y=log_a（a＞0且a≠1）的定義域都是R，
所以①是真命題；
由于函數(shù)y=x³的值域是R，而函數(shù)y=3^x的值域是（0，+∞）
所以y=x³與y=3^x的值域不相同，可得②是假命題；
對(duì)于③，當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）=即，滿足f（-x）==-f（x）是奇函數(shù)；
反之若f（x）=是奇函數(shù)，由f（-x）=-f（x）比較系數(shù)得a=-1
故“a=1”是“函數(shù)f（x）=是在定義域上的奇函數(shù)”的充要條件，可得③是假命題；
對(duì)于④，二次函數(shù)y=（x-1）²在區(qū)間[0，1）上是減函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)
y=2^x-1在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)
因此y=（x-1）²與y=2^x-1在區(qū)間[0，+∞）上都不是減函數(shù)，得④不正確
綜上所述，其中的正確命題是①
故答案為：①
點(diǎn)評(píng)：本題由幾個(gè)命題的真假判斷，考查了二次函數(shù)、冪函數(shù)與指對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性等知識(shí)，屬于中檔題．