Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)n≥2時(shí)，
當(dāng)n=1，a₁=S₁=1，滿足上式
∴a_n=n（n∈N^*）②
（Ⅱ）由，得b_n=n•2ⁿ
T_n=2+2•2²+3•2³++（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ①
2T_n=2²+2•2³+3•2⁴++（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹②
①-②得，
-T_n=2+2²+2³++2^n-1+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
分析：（Ⅰ）當(dāng)n≥2時(shí)，根據(jù)a_n=s_n-s_n-1，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，然后驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)，也符合上式，即可求出通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）先寫數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，然后看出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n和2T_n，再計(jì)算出T_n-2T_n，進(jìn)而可以求出前n項(xiàng)和T_n．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列的求和，對(duì)于等差數(shù)列與等比數(shù)列相乘形式的數(shù)列求和，一般采取錯(cuò)位相減的方法．