Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝aln x－bx2 ， a，b∈R.
（1）若f(x)在x＝1處與直線y＝－ 相切，求a，b的值；
（2）在(1)的條件下，求f(x)在 上的最大值；
（3）若不等式f(x)≥x對(duì)所有的b∈(－∞，0]，x∈(e，e2]都成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′(x)＝ －2bx.由函數(shù)f(x)在x＝1處與直線y＝－ 相切，
得 即
解得
（2）解：由(1)得f(x)＝ln x－ x2 ， 定義域?yàn)?0，＋∞)．
此時(shí)，f′(x)＝ －x＝ ，令f′(x)＞0，解得0＜x＜1，令f′(x)＜0，解得x＞1.
所以f′(x)在 上單調(diào)遞增，在(1，e)上單調(diào)遞減，
所以f(x)在 上的最大值為f(1)＝－ .
（3）解：若不等式f(x)≥x對(duì)所有的b∈(－∞，0]，x∈(e，e2]都成立，
即aln x－bx2≥x對(duì)所有的b∈(－∞，0]，x∈(e，e2]都成立，
即aln x－x≥bx2對(duì)所有的b∈(－∞，0]，x∈(e，e2]都成立，
即aln x－x≥0對(duì)x∈(e，e2]恒成立，
即a≥ 對(duì)x∈(e，e2]恒成立，
即a大于等于 在區(qū)間(e，e2]上的最大值．
令h(x)＝ ，則h′(x)＝ ，當(dāng)x∈(e，e2)時(shí)，h′(x)＞0，h(x)單調(diào)遞增，
所以h(x)＝ ，x∈(e，e2]的最大值為h(e2)＝ ，即a≥ .
所以a的取值范圍為 .
【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式的恒成立問題注意運(yùn)用參數(shù)分離和轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，屬于中檔題和易錯(cuò)題．導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是增函數(shù)，f′（x）＞0的解集與定義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是減函數(shù)，f′（x）＜0的解集與定義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．