如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,AC⊥BC,AC=BC=PA=2.
(1)求三棱錐P-ABC的體積V;
(2)求異面直線AB與PC所成角的大小.

【答案】分析:(1)由題意,可得PA就是三棱錐P-ABC的高,而底面△ABC是直角邊為2的等腰直角三角形,由此結(jié)合錐體體積公式即可算出三棱錐P-ABC的體積V;
(2)取PA中點(diǎn)E,PB中點(diǎn)F,BC中點(diǎn)G,連接AG,由三角形中位線定理可得∠EFG(或其補(bǔ)角)就是異面直線AB與PC所成的角.然后在Rt△AEG中算出EG的長,用中位線定理得到EF=FG=,最后在△EFG中用余弦定理算出∠EFG=120°,即得異面直線AB與PC所成角的大。
解答:解:(1)∵PA⊥底面ABC,∴PA=h,是三棱錐P-ABC的高,…(3分)
因此,三棱錐P-ABC的體積為
=.…(6分)
(2)取PA中點(diǎn)E,PB中點(diǎn)F,BC中點(diǎn)G,
連接EF,F(xiàn)G,EG,
∵EF、FG分別是△PAB、△PBC的中位線
∴EF∥AB,F(xiàn)G∥PC,
因此,∠EFG(或其補(bǔ)角)就是異面直線AB與PC所成的角.…(2分)
連接AG,則Rt△AEG中,,…(3分)
,…(4分)
又∵,∴.…(5分)
由此可得,在△EFG中
,…(7分)
結(jié)合∠EFG是三角形內(nèi)角,可得∠EFG=120°.
綜上所述,可得異面直線AB與PC所成角的大小為60°.…(8分)
點(diǎn)評:本題給出一條側(cè)棱垂直于底面的三棱錐,求該棱錐的體積并求異面直線所成角,著重考查了異面直線及其所成的角及其求法、棱錐的體積公式等知識,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA、PB、PC兩兩垂直,且PA=3.PB=2,PC=1.設(shè)M是底面ABC內(nèi)一點(diǎn),定義f(M)=(m,n,p),其中m、n、p分別是三棱錐M-PAB、三棱錐M-PBC、三棱錐M-PCA的體積.若f(M)=(
1
2
,x,y),且
1
x
+
a
y
≥8恒成立,則正實(shí)數(shù)a的最小值為
 

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如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠ACB=90°,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,若PA=AB=2,∠BPC=θ,則當(dāng)△AEF的面積最大時(shí),tanθ的值為( 。

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如圖,在三棱錐P-ABC中,PA=PB=AB=2,BC=3,∠ABC=90°,平面PAB⊥平面ABC,D、E分別為AB、AC中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:DE‖平面PBC;
(Ⅱ)求證:AB⊥PE;
(Ⅲ)求二面角A-PB-E的大。

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如圖,在三棱錐P-ABC中,已知PA=PB=PC,∠BPA=∠BPC=∠CPA=40°,一繩子從A點(diǎn)繞三棱錐側(cè)面一圈回到點(diǎn)A的最短距離是
3
,則PA=
1
1

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精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BCA=90°,AP=AC,點(diǎn)D,E分別在棱
PB,PC上,且BC∥平面ADE
(I)求證:DE⊥平面PAC;
(Ⅱ)當(dāng)二面角A-DE-P為直二面角時(shí),求多面體ABCED與PAED的體積比.

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