Question

（2010•武清區(qū)一模）已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足a_nⁿ+na_n-1=0（n∈N^*）
（1）求a₁，a₂；
（2）求證：0＜a_n＜1
（3）求證：a_n＞a_n+1．

Answer 1

分析：（1）分別令n=1，n=2代入已知式可求；
（2）由a_nⁿ+na_n-1=0，知a_n是方程xⁿ+nx-1=0的一個(gè)根，設(shè)f（x）=xⁿ+nx-1，由零點(diǎn)判定定理可知方程f（x）=0在（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)根，利用導(dǎo)數(shù)可判斷f（x）單調(diào)，從而可知零點(diǎn)存在且唯一；
（3）反證法：由a_nⁿ+na_n-1=0，得

a

n+1 n+1

+(n+1)an+1-1=0，兩式相減得

a

n+1 n+1

-

a

n n

+（n+1）a_n+1-na_n=0，假若a_n≤a_n+1，通過(guò)不等式放縮可導(dǎo)出矛盾；

解答：解：（1）∵ann+na_n-1=0，n∈N^*，
令n=1得a₁+a₁-1=0，∴a₁=

1

2

，
令n=2得 

a

2 2

+2a2-1=0，∴a2=-1±

2

，
∵a_n＞0，∴a₂=

2

-1；
（2）∵a_nⁿ+na_n-1=0，∴a_n是方程xⁿ+nx-1=0的一個(gè)根，
設(shè)f（x）=xⁿ+nx-1，則f（0）=-1＜0，f（1）=n＞0．
∴方程f（x）=0在（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)根．
∵f′（x）=nx^n-1+n＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴方程f（x）=0在（0，+∞）上有唯一的根，且根在（0，1）內(nèi)，
∴a_n∈（0，1）∴0＜a_n＜1；
（3）∵a_nⁿ+na_n-1=0，

a

n+1 n+1

+(n+1)an+1-1=0，
兩式相減得

a

n+1 n+1

-

a

n n

+（n+1）a_n+1-na_n=0，
若a_n≤a_n+1，∵0＜a_n＜1，則a_n+1≥a_n＞

a

n n

，
從而有

a

n+1 n+1

-

a

n n

+（n+1）a_n+1-na_n≥

a

n+1 n+1

-

a

n n

+（n+1）a_n-na_n
=

a

n+1 n+1

+(an-

a

n n

)＞

a

n+1 n+1

＞0，
與

a

n+1 n+1

-

a

n n

+（n+1）a_n+1-na_n=0矛盾，
∴a_n＞a_n+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用、不等式的證明，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，綜合性強(qiáng)，難度大，能力要求較高．