Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x2-alnx，若函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線方程為l：y=x+b．
（1）求出實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）當(dāng)x∈[

1

e

， e]時(shí)，不等式f（x）＜k恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由f′（2）=1求得a的值，求出f（2），再由點(diǎn)P在直線上解得b的值；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）在[

1

e

，e]上的最值，則實(shí)數(shù)k的取值范圍可求．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

2

x2-alnx，
∴f'(x)=x-

a

x

，
∴f'(2)=2-

a

2

=1⇒a=2．
∴f(x)=

1

2

x2-2lnx．
∵點(diǎn)P坐標(biāo)滿足f(x)=

1

2

x2-2lnx，
∴f（2）=2-2ln2，
∵點(diǎn)P在直線l上，∴b=-2ln2，
∴a=2，b=-2ln2；
（2）由（1）知f(x)=

1

2

x2-2lnx．
∴f′(x)=x-

2

x

=

(x- 2 )(x+ 2 )

x

，
由f'（x）=0⇒x=

2

(x=-

2

舍去）．
∴當(dāng)x∈[

1

e

，

2

]時(shí)，f（x）為減函數(shù)，當(dāng)x∈[

2

，e]時(shí)，f（x）為增函數(shù)．
又f(

1

e

)=2+

1

2e2

，  f(e)=

1

2

e2-2⇒f(

1

e

)＞f(e)，
故當(dāng)x∈[

1

e

，e]時(shí)，函數(shù)y=f（x）的最大值為2+

1

2e2

，
∴k＞2+

1

2e2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是中檔題．