對于數(shù)列A：a1，a2，a3(ai∈N，i＝1，2，3)，定義“T變換”：T將數(shù)列A變換成數(shù)列B：b1，b2，b3，其中bi＝|ai－ai+1|(i＝1，2)，且b3＝|a3－a1|．這種“T變換”記作B＝T(A)．繼續(xù)對數(shù)列B進(jìn)行“T變換”，得到數(shù)列C：c1，c2，c3，依此類推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為0時(shí)變換結(jié)束．

(Ⅰ)試問A：2，6，4經(jīng)過不斷的“T變換”能否結(jié)束？若能，請依次寫出經(jīng)過“T變換”得到的各數(shù)列；若不能，說明理由；

(Ⅱ)設(shè)A：a1，a2，a3，B＝T(A)．若B：b，2，a(a≥b)，且B的各項(xiàng)之和為2012．

(ⅰ)求a，b；

(ⅱ)若數(shù)列B再經(jīng)過k次“T變換”得到的數(shù)列各項(xiàng)之和最小，求k的最小值，并說明理由．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)解：數(shù)列不能結(jié)束，各數(shù)列依次為；；；；；…．

　　以下重復(fù)出現(xiàn)，所以不會出現(xiàn)所有項(xiàng)均為的情形．3分

　　(Ⅱ)解：(ⅰ)因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60R0/0178/0020/35ab932109f209ac5e735e694c3e2368/C/Image184.gif" width=16 HEIGHT=17>的各項(xiàng)之和為，且，所以為的最大項(xiàng)，

　　所以最大，即，或．5分

　　當(dāng)時(shí)，可得

　　由，得，即，故；7分

　　當(dāng)時(shí)，同理可得，；8分

　　(ⅱ)方法一：由，則經(jīng)過次“變換”得到的數(shù)列分別為：；；；；；．

　　由此可見，經(jīng)過次“變換”后得到的數(shù)列也是形如“”的數(shù)列，與數(shù)列“結(jié)構(gòu)”完全相同，但最大項(xiàng)減少12．

　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60R0/0178/0020/35ab932109f209ac5e735e694c3e2368/C/Image210.gif" width=121 height=18>，

　　所以，數(shù)列經(jīng)過次“變換”后得到的數(shù)列為．

　　接下來經(jīng)過“變換”后得到的數(shù)列分別為：；；；；；；，……

　　從以上分析可知，以后重復(fù)出現(xiàn)，所以數(shù)列各項(xiàng)和不會更�。�

　　所以經(jīng)過次“變換”得到的數(shù)列各項(xiàng)和最小，的最小值為；13分

　　方法二：若一個(gè)數(shù)列有三項(xiàng)，且最小項(xiàng)為，較大兩項(xiàng)相差，則稱此數(shù)列與數(shù)列“結(jié)構(gòu)相同”．

　　若數(shù)列的三項(xiàng)為，則無論其順序如何，經(jīng)過“變換”得到的數(shù)列的三項(xiàng)為(不考慮順序)．

　　所以與結(jié)構(gòu)相同的數(shù)列經(jīng)過“變換”得到的數(shù)列也與結(jié)構(gòu)相同，除外其余各項(xiàng)減少，各項(xiàng)和減少．

　　因此，數(shù)列經(jīng)過次“變換”一定得到各項(xiàng)為(不考慮順序)的數(shù)列．

　　通過列舉，不難發(fā)現(xiàn)各項(xiàng)為的數(shù)列，無論順序如何，經(jīng)過“變換”得到的數(shù)列會重復(fù)出現(xiàn)，各項(xiàng)和不再減少．

　　所以，至少通過次“變換”，得到的數(shù)列各項(xiàng)和最小，故的最小值為；13分


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于數(shù)列A：a1，a2，…，an，若滿足ai∈{0，1}（i=1，2，3，…，n），則稱數(shù)列A為“0-1數(shù)列”．定義變換T，T將“0-1數(shù)列”A中原有的每個(gè)1都變成0，1，原有的每個(gè)0都變成1，0．例如A：1，0，1，則T（A）：0，1，1，0，0，1．設(shè)A0是“0-1數(shù)列”，令A(yù)k=T（Ak-1），k=1，2，3，…
（1）若數(shù)列A2：1，0，0，1，0，1，1，0，1，0，0，1．則數(shù)列A0為
1，0，1
1，0，1
；
（2）若A0為0，1，記數(shù)列Ak中連續(xù)兩項(xiàng)都是0的數(shù)對個(gè)數(shù)為lk，k=1，2，3，…，則l2n關(guān)于n的表達(dá)式．是
l2n=
1
3
（4n-1）
l2n=
1
3
（4n-1）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•西城區(qū)一模）對于數(shù)列A：a1，a2，a3（ai∈N，i=1，2，3），定義“T變換”：T將數(shù)列A變換成數(shù)列B：b1，b2，b3，其中bi=|ai-ai+1|（i=1，2），且b3=|a3-a1|．這種“T變換”記作B=T（A）．繼續(xù)對數(shù)列B進(jìn)行“T變換”，得到數(shù)列C：c1，c2，c3，依此類推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為0時(shí)變換結(jié)束．
（Ⅰ）試問A：2，6，4經(jīng)過不斷的“T變換”能否結(jié)束？若能，請依次寫出經(jīng)過“T變換”得到的各數(shù)列；若不能，說明理由；
（Ⅱ）設(shè)A：a1，a2，a3，B=T（A）．若B：b，2，a（a≥b），且B的各項(xiàng)之和為2012．
（�。┣骯，b；
（ⅱ）若數(shù)列B再經(jīng)過k次“T變換”得到的數(shù)列各項(xiàng)之和最小，求k的最小值，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

對于數(shù)列A：a1，a2，a3（ai∈N，i=1，2，3），定義“T變換”：T將數(shù)列A變換成數(shù)列B：b1，b2，b3，其中bi=|ai-ai+1|（i=1，2），且b3=|a3-a1|．這種“T變換”記作B=T（A）．繼續(xù)對數(shù)列B進(jìn)行“T變換”，得到數(shù)列C：c1，c2，c3，依此類推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為0時(shí)變換結(jié)束．
（Ⅰ）試問A：2，6，4經(jīng)過不斷的“T變換”能否結(jié)束？若能，請依次寫出經(jīng)過“T變換”得到的各數(shù)列；若不能，說明理由；
（Ⅱ）設(shè)A：a1，a2，a3，B=T（A）．若B：b，2，a（a≥b），且B的各項(xiàng)之和為2012．
（�。┣骯，b；
（ⅱ）若數(shù)列B再經(jīng)過k次“T變換”得到的數(shù)列各項(xiàng)之和最小，求k的最小值，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年北京市西城區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

對于數(shù)列A：a1，a2，a3（ai∈N，i=1，2，3），定義“T變換”：T將數(shù)列A變換成數(shù)列B：b1，b2，b3，其中bi=|ai-ai+1|（i=1，2），且b3=|a3-a1|．這種“T變換”記作B=T（A）．繼續(xù)對數(shù)列B進(jìn)行“T變換”，得到數(shù)列C：c1，c2，c3，依此類推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為0時(shí)變換結(jié)束．
（Ⅰ）試問A：2，6，4經(jīng)過不斷的“T變換”能否結(jié)束？若能，請依次寫出經(jīng)過“T變換”得到的各數(shù)列；若不能，說明理由；
（Ⅱ）設(shè)A：a1，a2，a3，B=T（A）．若B：b，2，a（a≥b），且B的各項(xiàng)之和為2012．
（ⅰ）求a，b；
（ⅱ）若數(shù)列B再經(jīng)過k次“T變換”得到的數(shù)列各項(xiàng)之和最小，求k的最小值，并說明理由．

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