設函數f(x)=(1+x)2-2ln(1+x).
(1)若在定義域內存在x,而使得不等式f(x)-m≤0能成立,求實數m的最小值;
(2)若函數g(x)=f(x)-x2-x-a在區(qū)間(0,2]上恰有兩個不同的零點,求實數a的取值范圍.
【答案】
分析:(1)依題意得,求m的最小值,就是求f(x)的最小值,利用導數研究函數的單調性,可以得到f(x)在(-1,0)上為減函數,f(x)在(0,+∞)為增函數,即f(x)的最小值為f(0)=1,所以m的最小值為1
(2)解出g(x)=x+1-2ln(x+1)-a,原題設即方程1+x-2ln(1+x)=a在區(qū)間[0,2]上恰有兩個相異實根,令h(x)=1+x-2ln(1+x),這時只需解出h(x)在[0,2]上的值域,畫出圖象,可以得出a的取值范圍.
解答:解:(1)要使得不等式f(x
)-m≤0能成立,只需m≥f(x)
mix.
求導得f′(x)=2(1+x)-2
,定義域為(-1,+∞),
∵當x∈(-1,0)時,f′(x)<0,
∴函數f(x)在區(qū)間(-1,0)上是減函數;
當x∈(0,+∞)時,f′(x)>0,∴函數f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數.
∴f(x)
mix=f(0)=1,∴m≥1.故實數m的最小值為1.
(2)由f(x)=(1+x)
2-2ln(1+x)得:
g(x)=(1+x)
2-2ln(1+x)-(x
2+x+a)=x+1-2ln(x+1)-a
原題設即方程1+x-2ln(1+x)=a在區(qū)間[0,2]上恰有兩個相異實根.
設h(x)=(1+x)-2ln(1+x).∵h′(x)=1-
,列表如下:
∵h(0)-h(2)=1-(3-2ln3)=2(ln3-1)>2(lne-1)=0,∴h(0)>h(2).
從而有h(x)
max=1,h(x)
min=2-2ln2
畫出函數h(x)在區(qū)間[0,2]上的草圖(如圖)
易知要使方程h(x)=a在區(qū)間(0,2]上恰有兩個相異實根,
只需:2-2ln2<a≤3-2ln3,
即:a∈(2-2ln2,3-2ln3].
點評:本題考查利用導數研究函數的單調性,本題比較新穎的地方是,求解(2)中的a的取值范圍,經過等價變換,只需求h(x)=(1+x)-2ln(1+x)的值域,再根據圖象,解出a的取值范圍.在教學中,多加強訓練和指導,以便掌握其要領.