Question

已知函數(shù)f(x)=|

1

x

-1|
（1）判斷f（x）在[1，+∞）上的單調性，并證明你的結論；
（2）若集合A={y|y=f（x），

1

2

≤x≤2}，B=[0，1]，試判斷A與B的關系；
（3）若存在實數(shù)a、b（a＜b），使得集合{y|y=f（x），a≤x≤b}=[ma，mb]，求非零實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

（1）證明：f（x）在[1，+∞）上的單調遞增．
設x₁，x₂為[1，+∞）上任意兩個實數(shù)，且1≤x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0f(x1)-f(x2)=(1-

1

x1

)-(1-

1

x2

)=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

＜0∴f（x）在[1，+∞）上的單調遞增．
（2）當

1

2

≤x≤2時

1

2

≤

1

x

≤2，-

1

2

≤

1

x

-1≤1，0≤|

1

x

-1|≤1
∴A=[0，1]=B
（3）由題意，顯然m＞0，對函數(shù)的單調性進行研究知，函數(shù)在（-∞，0）上是增函數(shù)，在x=0處函數(shù)值不存在，在（0，1）函數(shù)是減函數(shù)，在（1，+∞）函數(shù)是增函數(shù)，由此結合函數(shù)的連續(xù)性可以得出ab＞0且1∉[a，b]．
①當b＜0時，f（x）在[a，b]上為增函數(shù)∴

1- 1 a =ma 1- 1 b =mb

，即a，b為方程1-

1

x

=mx的兩根．
∴mx²-x+1=0有兩個不等的負根.

m＞0 1 2m ＜0

，此不等式組無解．
②當a≥1時，f（x）在[a，b]上為增函數(shù)∴

1- 1 a =ma 1- 1 b =mb

，即a，b為方程1-

1

x

=mx的兩根．
∴mx²-x+1=0有兩個不等的大于1的根.

m＞0 1 2m ＞1?m＜ 1 2 △=1-4m＞0?m＜ 1 4

，解得0＜m＜

1

4

．
③當0＜a＜b＜1時，f（x）在[a，b]上為減函數(shù)，∴

1 a -1=mb 1 b -1=ma

，兩式作差得a=b，無意義．
綜上，非零實數(shù)m的取值范圍為(0，

1

4

)．