(2013•廣州一模)甲,乙,丙三位學(xué)生獨(dú)立地解同一道題,甲做對(duì)的概率為
1
2
,乙,丙做對(duì)的概率分別為m,n(m>n),且三位學(xué)生是否做對(duì)相互獨(dú)立.記ξ為這三位學(xué)生中做對(duì)該題的人數(shù),其分布列為:
ξ 0 1 2 3
P
1
4
a b
1
24
(1)求至少有一位學(xué)生做對(duì)該題的概率;
(2)求m,n的值;
(3)求ξ的數(shù)學(xué)期望.
分析:(1)利用“至少有一位學(xué)生做對(duì)該題”事件的對(duì)立事件的概率即可得出;
(2)利用P(ξ=0)與P(ξ=3)的概率即可得出m,n;
(3)利用(2)及a=P(ξ=1)=P(A
.
B
.
C
)+P(
.
A
B
.
C
)+P(
.
A
.
B
C)
與b=P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)即可得出a,b.
解答:解:設(shè)“甲做對(duì)”為事件A,“乙做對(duì)”為事件B,“丙做對(duì)”為事件C,
由題意知,P(A)=
1
2
,P(B)=m,P(C)=n

(1)由于事件“至少有一位學(xué)生做對(duì)該題”與事件“ξ=0”是對(duì)立的,
所以至少有一位學(xué)生做對(duì)該題的概率是1-P(ξ=0)=1-
1
4
=
3
4

(2)由題意知P(ξ=0)=P(
.
A
.
B
.
C
)=
1
2
(1-m)(1-n)=
1
4
,
           P(ξ=3)=P(ABC)=
1
2
mn=
1
24
,
整理得  mn=
1
12
,m+n=
7
12

由m>n,解得m=
1
3
,n=
1
4

(3)由題意知a=P(ξ=1)=P(A
.
B
.
C
)+P(
.
A
B
.
C
)+P(
.
A
.
B
C)
=
1
2
(1-m)(1-n)+
1
2
m(1-n)+
1
2
(1-m)n=
11
24

b=P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=
1
4
,
∴ξ的數(shù)學(xué)期望為Eξ=
1
4
+1×
11
24
+2×
1
4
+3×
1
24
=
13
12
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查相互獨(dú)立事件的概率、利用對(duì)立事件的概率求概率的方法、離散型隨機(jī)變量的均值等基礎(chǔ)知識(shí),考查數(shù)據(jù)處理、推理論證、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•廣州一模)
1
0
cosx
dx=
sin1
sin1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•廣州一模)已知經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)的n(n∈N*,n≥3)個(gè)平面,任意三個(gè)平面不經(jīng)過(guò)同一條直線(xiàn).若這n個(gè)平面將空間分成f(n)個(gè)部分,則f(3)=
8
8
,f(n)=
n2-n+2
n2-n+2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•廣州一模)函數(shù)f(x)=
2-x
+ln(x-1)
的定義域?yàn)?!--BA-->
(1,2]
(1,2]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•廣州一模)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,∠BCD=60°,AB=2AD,PD⊥平面ABCD,點(diǎn)M為PC的中點(diǎn).
(1)求證:PA∥平面BMD;
(2)求證:AD⊥PB;
(3)若AB=PD=2,求點(diǎn)A到平面BMD的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•廣州一模)已知n∈N*,設(shè)函數(shù)fn(x)=1-x+
x2
2
-
x3
3
+…-
x2n-1
2n-1
,x∈R

(1)求函數(shù)y=f2(x)-kx(k∈R)的單調(diào)區(qū)間;
(2)是否存在整數(shù)t,對(duì)于任意n∈N*,關(guān)于x的方程fn(x)=0在區(qū)間[t,t+1]上有唯一實(shí)數(shù)解?若存在,求t的值;若不存在,說(shuō)明理由.

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