Question

已知函數(shù)f（x）=2lnx-x²+2x
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線的方程；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=

1

3

x³+x²[f′（x）+2x-

4

x

+m]在區(qū)間（1，3）上不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；
（Ⅲ）若在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)h（x）=

1

2

f（x）+ax²-x的圖象恒在直線y=2ax（x∈R）的下方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決
（Ⅱ）求出g′（x），因?yàn)間（x）在區(qū)間（1，3）上不單調(diào)，所以g′（x）改變符號(hào)，從而得到m所滿足的條件．
（Ⅲ）將圖象的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式恒成立；通過構(gòu)造函數(shù)，對(duì)新函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)導(dǎo)函數(shù)的根與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行討論，求出新函數(shù)的最值，求出a的范圍．

解答： 解：（I）∵f′(x)=

2

x

-2x+2，切點(diǎn)坐標(biāo)（1，1），
∴切線的斜率k=f'（1）=2，
∴則切線方程為y-1=2（x-1），
即y=2x-1，
（II）∵g(x)=

1

3

x3+x2[f′(x)+2x-

4

x

+m]=

1

3

x3+(m+2)x2-2x
∴g'（x）=x²+2（m+2）x-2
∵g（x）在區(qū)間（1，3）上不是單調(diào)函數(shù)，且g'（0）=-2＜0
∴

g′(1)＜0 g′(3)＞0

∴

m＜- 3 2 m＞- 19 6

故m的取值范圍是（-

19

6

，-

3

2

）
（III）若在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)h(x)=

1

2

f(x)+ax2-x的圖象恒在直線y=2ax（x∈R）的下方等價(jià)于對(duì)任意x∈（1，+∞），不等式(a-

1

2

)x2+lnx-2ax＜0恒成立
設(shè)ϕ（x）=(a-

1

2

)x2+lnx-2ax，x∈（1，+∞）
則ϕ'（x）=(2a-1)x-2a+

1

x

=(x-1)(2a-1-

1

x

)
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，x-1＞0，0＜

1

x

＜1
①若2a-1≤0，即a≤

1

2

，ϕ'（x）＜0，函數(shù)ϕ（x）在區(qū)間[1，+∞）為減函數(shù)，
則當(dāng)任意x∈（1，+∞）時(shí)，ϕ（x）＜ϕ（1）=a-

1

2

-2a=-

1

2

-a，
只需-

1

2

-a≤0，即當(dāng)-

1

2

≤a≤

1

2

時(shí)，ϕ（x）=(a-

1

2

)x2+lnx-2ax＜0恒成立．
②若0＜2a-1＜1，即

1

2

＜a＜1時(shí)，令ϕ'（x）=(x-1)(2a-1-

1

x

)=0
得x=

1

2a-1

＞1，函數(shù)ϕ（x）在區(qū)間（1，

1

2a-1

）為減函數(shù)，（

1

2a-1

，+∞）為增函數(shù)，
則ϕ（x）∈（ϕ（

1

2a-1

），+∞），不合題意，
③若2a-1≥1，即當(dāng)a≥1時(shí)，ϕ'（x）＞0，函數(shù)ϕ（x）在區(qū)間（1，+∞）為增函數(shù)
則ϕ（x）∈（ϕ（1），+∞），不合題意，
綜上可知當(dāng)-

1

2

≤a≤

1

2

時(shí)，ϕ（x）=(a-

1

2

)x2+lnx-2ax＜0恒成立
即當(dāng)-

1

2

≤a≤

1

2

時(shí)，在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)h(x)=

1

2

f(x)+ax2-x的圖象恒在直線y=2ax（x∈R）的下方，
綜上所述．實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-

1

2

，

1

2

]

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)解決問題的能力，解決不等式恒成立及不等式有解問題一般都轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，通過導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，進(jìn)一步求出參數(shù)的范圍．