過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，求以為鄰邊的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)的軌跡方程．

 

【答案】

（或）．

【解析】

試題分析：的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)為，

且．

由題意得直線(xiàn)的方程為，其中為不等于零的參數(shù)．

由得．   （）

，

，

是的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

又為的中點(diǎn)，（，且為參數(shù)）消去，得．

直線(xiàn)和拋物線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

（）式中且，解得或．

由，知或，

故點(diǎn)的軌跡方程為（或）．

考點(diǎn)：本題主要考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)。

點(diǎn)評(píng)：綜合題，利用函數(shù)方程思想，轉(zhuǎn)化成一元二次方程問(wèn)題，其中確定變量的范圍，是易錯(cuò)易漏點(diǎn)。

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)設(shè)p＞0是一常數(shù)，過(guò)點(diǎn)Q（2p，0）的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)y2=2px交于相異兩點(diǎn)A、B，以線(xiàn)段AB為直經(jīng)作圓H（H為圓心）．試證拋物線(xiàn)頂點(diǎn)在圓H的圓周上；并求圓H的面積最小時(shí)直線(xiàn)AB的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：044

設(shè)是一常數(shù)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于相異兩點(diǎn)A、B，以線(xiàn)段AB為直經(jīng)作圓H（H為圓心）。試證拋物線(xiàn)頂點(diǎn)在圓H的圓周上；并求圓H的面積最小時(shí)直線(xiàn)AB的方程.

　　
　　 　　

Y

　　 　　
 

 


　　
　　 　　

y2=2px

　　 　　
 

　　
　　 　　

B

　　 　　
 

 

 

 

 


　　
　　 　　

X

　　 　　
 

　　
　　 　　

Q(2p,0)

　　 　　
 
　　
　　 　　

O

　　 　　
 

　　
　　 　　

A

　　 　　
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：數(shù)學(xué)教研室 題型：044

設(shè)是一常數(shù)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于相異兩點(diǎn)A、B，以線(xiàn)段AB為直經(jīng)作圓H（H為圓心）。試證拋物線(xiàn)頂點(diǎn)在圓H的圓周上；并求圓H的面積最小時(shí)直線(xiàn)AB的方程.

　　
　　 　　

Y

　　 　　
 

 


　　
　　 　　

y2=2px

　　 　　
 

　　
　　 　　

B

　　 　　
 

 

 

 

 


　　
　　 　　

X

　　 　　
 

　　
　　 　　

Q(2p,0)

　　 　　
 
　　
　　 　　

O

　　 　　
 

　　
　　 　　

A

　　 　　
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（04年重慶卷）（12分）

設(shè)是一常數(shù)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于相異兩點(diǎn)A、B，以線(xiàn)段AB為直經(jīng)作圓H（H為圓心）試證拋物線(xiàn)頂點(diǎn)在圓H的圓周上；并求圓H的面積最小時(shí)直線(xiàn)AB的方程

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)p＞0是一常數(shù)，過(guò)點(diǎn)Q(2p,0)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)y2=2px交于相異的兩點(diǎn)A、B，以線(xiàn)段AB為直徑作圓H（H為圓心）.試證明拋物線(xiàn)頂點(diǎn)在圓H的圓周上，并求圓H的面積最小時(shí)直線(xiàn)AB的方程.

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