精英家教網(wǎng)如圖,在組合體中,ABCD-A1B1C1D1是一個長方體,P-ABCD是一個四棱錐.AB=2,BC=3,點P∈平面CC1D1D且PD=PC=
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(Ⅰ)證明:PD⊥平面PBC;
(Ⅱ)若AA1=a,當a為何值時,PC∥平面AB1D.
分析:對于(Ⅰ),要證明PD⊥平面PBC,只需證明PD垂直于平面PBC的兩條相交直線即可,由PD=PC=
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可得PD⊥PC,而ABCD-A1B1C1D1是一個長方體,容易證明BC⊥面CC1D1D,而P∈平面CC1D1D,所以PD?面CC1D1D,容易得到PD⊥BC,從而得證;
對于(Ⅱ),由于AB1∥DC1,要證PC∥平面AB1D,只需證明PC∥DC1,如右圖,只需證明∠PCC1與∠DC1C互補即可,由于∠PCC1=1350,所以∠DC1C=45°,即AA1=a=2.
解答:解:(Ⅰ)證明:因為PD=PC=
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,CD=AB=2,所以△PCD為等腰直角三角形,所以PD⊥PC.(1分)
因為ABCD-A1B1C1D1是一個長方體,所以BC⊥面CC1D1D,而P∈平面CC1D1D,所以PD?面CC1D1D,所以BC⊥PD.(3分)
因為PD垂直于平面PBC內(nèi)的兩條相交直線PC和BC,由線面垂直的判定定理,可得PD⊥平面PBC.(6分)

(Ⅱ)當a=2時,PC∥平面AB1D.(9分)
當a=2時,四邊形CC1D1D是一個正方形,所以∠C1DC=45°,而∠PDC=45°,所以∠PDC1=900,所以C1D⊥PD.(12分)
而PC⊥PD,C1D與PC在同一個平面內(nèi),所以PC∥C1D.(13分)
而C1D?面AB1C1D,所以PC∥面AB1C1D,所以PC∥平面AB1D.(14分)
點評:本題考查線面垂直的判定及線面平行的判定,要注意線面垂直中的轉(zhuǎn)化思想,第二問中要注意轉(zhuǎn)化到平面內(nèi)進行證明與判定.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在組合體中,ABCD-A1B1C1D1是一個長方體,P-ABCD是一個四棱錐.AA1=a,AB=2,BC=3,點P∈平面CC1D1D且PD=PC=
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(Ⅰ)在正視圖右邊及下方區(qū)域畫出其側(cè)視圖、俯視圖(在答卷上作答)
(II)證明:PD⊥平面PBC;
(III)證明:當a=2時,PC∥平面AB1D.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2008•佛山一模)如圖,在組合體中,ABCD-A1B1C1D1是一個長方體,P-ABCD是一個四棱錐.AB=2,BC=3,點P∈平面CC1D1D且PD=PC=
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(Ⅰ)證明:PD⊥平面PBC;
(Ⅱ)求PA與平面ABCD所成的角的正切值;
(Ⅲ)若AA1=a,當a為何值時,PC∥平面AB1D.

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如圖.在組合體中,ABCD-A1B1C1D1是一個長方體,P-ABCD是一個四棱錐,且AB=2,P∈平面CC1D1D,PD=PC=AD=
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(1)求證:PD⊥平面PBC;
(2)若AA1=a,當a為何值時,PC∥平面AB1D;
(3)在(2)的前提下,若點P,A,D,C1在同一球面上,求此球面的面積.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖.在組合體中,ABCD-A1B1C1D1是一個長方體,P-ABCD是一個四棱錐,且AB=2,P∈平面CC1D1D,PD=PC=AD=
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.PC∥平面AB1D
(1)求證:PD⊥平面PBC;
(2)若AA1=a,求a值;
(3)求點C1到平面PAB的距離;
(4)若點P,A,D,C1在同一球面上,求此球面的面積.

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