Question

（2013•淄博一模）已知函數(shù)g（x）=（2-a）lnx，h（x）=lnx+ax²（a∈R），令f（x）=g（x）+h′（x）．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，求f（x）的極值；
（Ⅱ）當(dāng)a＜0時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)-3＜a＜-2時(shí)，若存在λ₁，λ₂∈[1，3]，使得|f（λ₁）-f（λ₂）|＞（m+ln3）a-2ln3成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出h′（x），進(jìn)而得到f（x），當(dāng)a=0時(shí)在定義域內(nèi)解f′（x）=0，然后判斷在該方程根的左右兩邊導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，由極值定義可求；
（Ⅱ）求出f′（x），分-2＜a＜0，a=-2，a＜-2三種情況進(jìn)行討論：分別在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＜0，f′（x）＞0可得單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）?λ₁，λ₂∈[1，3]，使得|f（λ₁）-f（λ₂）|＞（m+ln3）a-2ln3成立，等價(jià)于|f（λ₁）-f（λ₂）|_max＞（m+ln3）a-2ln3，而|f（λ₁）-f（λ₂）|_max=f（x）_max-f（x）_min，由（Ⅱ）利用單調(diào)性可求得f（x）的最大值、最小值，再根據(jù)a的范圍即可求得m的范圍；

解答：解：（Ⅰ）依題意，h′（x）=

1

x

+2ax，
∴f（x）=（2-a）lnx+

1

x

+2ax，其定義域?yàn)椋?，+∞），
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=2lnx+

1

x

，f′（x）=

2

x

-

1

x2

=

2x-1

x2

，
令f′（x）=0，解得x=

1

2

，
當(dāng)0＜x＜

1

2

時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＞

1

2

時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，

1

2

），單調(diào)遞增區(qū)間為（

1

2

，+∞）；
∴x=

1

2

時(shí)，f（x）有極小值為f（

1

2

）=2-2ln2，無極大值；
（Ⅱ）f′（x）=

2-a

x

-

1

x2

+2a=

2ax2+(2-a)x-1

x2

=

a(2x-1)(x+ 1 a )

x2

(x＞0)，
當(dāng)-2＜a＜0時(shí)，-

1

a

＞

1

2

，令f′（x）＜0，得0＜x＜

1

2

或x＞-

1

a

，
令f′（x）＞0，得

1

2

＜x＜-

1

a

；
當(dāng)a=-2時(shí)，f′（x）=-

(2x-1)2

x2

≤0；
當(dāng)a＜-2時(shí)，-

1

a

＜

1

2

，令f′（x）＜0，得x＜-

1

a

或x＞

1

2

，
令f′（x）＞0，得-

1

a

＜x＜

1

2

；
綜上所述：當(dāng)-2＜a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，

1

2

），（-

1

a

，+∞），單調(diào)增區(qū)間為（

1

2

，-

1

a

）；
當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，+∞）；當(dāng)a＜-2時(shí)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，-

1

a

），（

1

2

，+∞），單調(diào)增區(qū)間為（-

1

a

，

1

2

）；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當(dāng)-3＜a＜-2時(shí)，f（x）在[1，3]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（1）=2a+1；f（x）_min=f（3）=（2-a）ln3+

1

3

+6a，
∴|f（λ₁）-f（λ₂）|_max=f（1）-f（3）=（1+2a）-[（2-a）ln3+

1

3

+6a]=

2

3

-4a+(a-2)ln3，
∵存在λ₁，λ₂∈[1，3]，使得|f（λ₁）-f（λ₂）|＞（m+ln3）a-2ln3成立，
∴（m+ln3）a-2ln3＜

2

3

-4a+（a-2）ln3，整理得ma＜

2

3

-4a，
又a＜0，∴m＞

2

3a

-4，
又∵-3＜a＜-2，∴-

1

3

＜

2

3a

＜-

2

9

，
∴-

13

3

＜

2

3a

-4＜-

38

9

，
∴m≥-

38

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值及恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，具有一定的綜合性．