Question

19．若函數(shù)f（x）定義域內(nèi)有兩個(gè)任意實(shí)數(shù)x₁，x₂（x₁≠x₂），若$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$＜$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$恒成立，則稱為f（x）凹函數(shù)；若滿足$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$＞$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$恒成立，則稱函數(shù)f（x）為凸函數(shù)，試證明：任一指數(shù)函數(shù)f（x）=a^x（a＞0，a≠1）都是凹函數(shù)．

Answer 1

分析 根據(jù)凹函數(shù)的定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，基本不等式，可得結(jié)論．

解答 證明：若f（x）=a^x（a＞0，a≠1）
則任取兩個(gè)實(shí)數(shù)x₁，x₂（x₁≠x₂），
$f（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）$=${a}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$=$\sqrt{{a}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$=$\sqrt{{a}^{{x}_{1}}•{a}^{{x}_{2}}}$，
$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=$\frac{{a}^{{x}_{1}}+{a}^{{x}_{2}}}{2}$，
由函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?，+∞），可得：${a}^{{x}_{1}}＞0，{a}^{{x}_{2}}＞0$，
由基本不等式可得$\sqrt{{a}^{{x}_{1}}•{a}^{{x}_{2}}}$＜$\frac{{a}^{{x}_{1}}+{a}^{{x}_{2}}}{2}$，即$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$＜$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$恒成立，
故f（x）凹函數(shù)；

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的凸凹性，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．