Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱長和底面長均為2，D為BC中點．
（Ⅰ）求證：AD⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）求證：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅲ）求三棱錐C₁-ADB₁的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明AD⊥平面B₁BCC₁，利用線面垂直的判定，證明CC₁⊥AD，BC⊥AD，即可‘
（Ⅱ）連接A₁C，交AC₁于點O，連接OD，利用OD為△A₁BC中位線，可得A₁B∥OD，利用線面平行的判定，可證A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅲ）利用等體積V_C1-ADB1=V_A-C1DB1，可得結論．

解答：（Ⅰ）證明：因為ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，所以CC₁⊥平面ABC
因為AD?平面ABC，所以CC₁⊥AD
因為△ABC是正三角形，D為BC中點，所以BC⊥AD，…（4分）
因為CC₁∩BC=C，所以AD⊥平面B₁BCC₁．…（5分）
（Ⅱ）證明：連接A₁C，交AC₁于點O，連接OD．

由 ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，得四邊形ACC₁A₁為矩形，O為A₁C的中點．
又D為BC中點，所以OD為△A₁BC中位線，
所以A₁B∥OD，…（8分）
因為A₁B?平面ADC₁，OD?平面ADC₁，
所以A₁B∥平面ADC₁；（10分）
（Ⅲ）解：V_C1-ADB1=V_A-C1DB1=

1

3

S△C1DB1×AD=

1

3

×

1

2

×2×2×

3

=

2 3

3

．…（14分）

點評：本題考查線面垂直，考查線面平行，考查三棱錐體積的計算，掌握線面垂直、線面平行的判定是關鍵．