Question

已知x=2是函數(shù)f（x）=alnx+x²-12x的一個(gè)極值點(diǎn)．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），由f'（2）=0求得a的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=16lnx+x²-12x+b，由f′（x）=0，求得極值點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=

a

x

+2x-12，（x＞0），
由已知f'（2）=0得，

a

2

-8=0，解得a=16．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=16lnx+x²-12x+b，x∈（0，+∞），
令f′（x）=

2(x2-6x+8)

x

=

2(x-2)(x-4)

x

=0，解得 x=2或 x=4．
當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)x∈（2，4）時(shí)，f′（x）＜0；
x∈（4，+∞）時(shí)，f′（x）＞0．
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，2），（4，+∞）；
f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（2，4）

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)在某一點(diǎn)取得極值的條件，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．