設函數(shù)f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的最小正周期為π，并且當x=
π
12
時，有最大值f（
π
12
）=4．
（1）求a、b、ω的值；
（2）若角α、β的終邊不共線，f（α）=f（β）=0，求tan（α+β）的值．
分析：（1）函數(shù)f（x）=asinωx+bcosωx可以變?yōu)閒（x）=
a2+b2
sin（ωx+∅），最小正周期為π求得ω=2，再由最大值f（
π
12
）=4得到
a2+b2
=4
a
2
+
3
2
b=4
從中解出a，b的值．
（2）由已知f（α）=f（β）=0得4sin（2α+
π
3
）=4sin（2β+
π
3
）=0即得sin（2α+
π
3
）-sin（2β+
π
3
）=0，從中解出α+β的三角函數(shù)值．
解答：解：（1）由
2 π
ω
=π，ω＞0得ω=2．
∴f（x）=asin2x+bcos2x．
由x=
π
12
時，f（x）的最大值為4，
得
a2+b2
=4
a
2
+
3
2
b=4
?
a=2
b=2
3
.


（2）由（1）得f（x）=4sin（2x+
π
3
）．
依題意有4sin（2α+
π
3
）=4sin（2β+
π
3
）=0．
∴sin（2α+
π
3
）-sin（2β+
π
3
）=0．
∴cos（α+β+
π
3
）sin（α-β）=0（和差化積公式見課本）．
∵α、β的終邊不共線，即α-β≠kπ（k∈Z），
故sin（α-β）≠0．
∴α+β=kπ+
π
6
（k∈Z）．
∴tan（α+β）=
3
3
．
點評：本題考點由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，此是近幾年高考中對三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)考查的一種較熱的題型，注意把握其解題規(guī)律，在題（2）中由三角函數(shù)的恒等變換求出α+β的三角函數(shù)值，三角恒等變換公式較多，解法不唯一，做題時要注意選擇合適的公式組合．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）的定義域為R，當x＜0時f（x）＞1，且對任意的實數(shù)x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．數(shù)列{an}滿足f（an+1）=
1f(-2-an)
（n∈N*）
（Ⅰ）求f（0）的值，判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得點（t，as）、（s，at）都在直線y=kx-1上，試判斷是否存在自然數(shù)M，當n＞M時，a n＞f（0）恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）的定義域為R，當x＜0時f（x）＞1，且對任意的實數(shù)x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．數(shù)列{an}滿足f(an+1)=
1
f(-2-an)
(n∈N*)．
（Ⅰ）求f（0）的值，判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得點（t，as）、（s，at）都在直線y=kx-1上，試判斷是否存在自然數(shù)M，當n＞M時，an＞0恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）若a1=f（0），不等式
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
＞
12
35
(1+logf(1)x)對不小于2的正整數(shù)恒成立，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=
3x-1
x+1
．
（1）已知s=-t+
1
2
（t＞1），求證：f（
t-1
t
）=
s+1
s
；
（2）證明：存在函數(shù)t=φ（s）=as+b（s＞0），滿足f（
s+1
s
）=
t-1
t
；
（3）設x1=
11
17
，xn+1=f（xn），n=1，2，…．問：數(shù)列{
1
xn-1
}是否為等差數(shù)列？若是，求出數(shù)列{xn}中最大項的值；若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年廣東省惠州一中高二（上）期中數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

設函數(shù)f（x）的定義域為R，當x＜0時f（x）＞1，且對任意的實數(shù)x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．數(shù)列{an}滿足f（an+1）=（n∈N*）
（Ⅰ）求f（0）的值，判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得點（t，as）、（s，at）都在直線y=kx-1上，試判斷是否存在自然數(shù)M，當n＞M時，a n＞f（0）恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年廣東省惠州一中高二（上）期中數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

設函數(shù)f（x）的定義域為R，當x＜0時f（x）＞1，且對任意的實數(shù)x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．數(shù)列{an}滿足．
（Ⅰ）求f（0）的值，判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得點（t，as）、（s，at）都在直線y=kx-1上，試判斷是否存在自然數(shù)M，當n＞M時，an＞0恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）若a1=f（0），不等式對不小于2的正整數(shù)恒成立，求x的取值范圍．

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