Question

（2011•嘉定區(qū)三模）如圖，已知橢圓

x2

2

+y2=1的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，橢圓的下頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，，圓M是以PF₂為直徑的圓．
（1）若圓M過原點(diǎn)O，求圓M的方程；
（2）當(dāng)圓M的面積為

π

8

時，求PA所在直線的方程；
（3）寫出一個定圓的方程，使得無論點(diǎn)P在橢圓的什么位置，該定圓總與圓M相切．請寫出你的探究過程．

Answer 1

分析：（1）解法一；因?yàn)镻F₂為圓M的直徑，圓M過原點(diǎn)O，可以判斷OP⊥OF₂，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，又因?yàn)镸為PF₂的中點(diǎn)，可求出M點(diǎn)坐標(biāo)，以及圓的半徑，代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可．
解法二：同解法一，可判斷OP⊥OF₂，則

OP

•

OF2

=0，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，后面同解法一．
（2）根據(jù)圓M的面積為

π

8

，求出圓半徑r，則|PF₂|=r，據(jù)此可求出P點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合A點(diǎn)坐標(biāo)，就可得到PA所在直線的方程．
（3）兩圓若始終相切，則圓心距等于半徑之和，因?yàn)閳AM的半徑為|MF₂|，所以只需找到一點(diǎn)，是M到這點(diǎn)的距離等于|MF₂|加上一個定值即可．

解答：解：（1）解法一：因?yàn)閳AM過原點(diǎn)O，所以O(shè)P⊥OF₂，
所以P是橢圓的端軸頂點(diǎn)，P的坐標(biāo)是（0，1）或（0，-1），
于是點(diǎn)M的坐標(biāo)為(

1

2

 ， 

1

2

)或(

1

2

 ， -

1

2

)，
圓M的方程為(x-

1

2

)2+(y-

1

2

)2=

1

2

或(x-

1

2

)2+(y+

1

2

)2=

1

2

．  
解法二：設(shè)P（x₁，y₁），因?yàn)閳AM過原點(diǎn)O，所以O(shè)P⊥OF₂，
所以

OP

•

OF2

=0，所以x₁=0，y₁=±1，點(diǎn)P（0，±1）
于是點(diǎn)M的坐標(biāo)為(

1

2

 ， 

1

2

)或(

1

2

 ， -

1

2

)，
圓M的方程為(x-

1

2

)2+(y-

1

2

)2=

1

2

或(x-

1

2

)2+(y+

1

2

)2=

1

2

．   
（2）設(shè)圓M的半徑為r，由題意，πr2=

π

8

，r=

2

4

，所以|PF2|=

2

2

設(shè)P（x₁，y₁），則

(x1-1)2+ y 2 1

=

2

2

．      
聯(lián)立

(x1-1)2+ y 2 1 = 1 2 x 2 1 2 + y 2 1 =1

，解得x₁=1（x₁=3舍去），
所以點(diǎn)P(1 ， 

2

2

)或P(1 ， -

2

2

)．                      
所以kPA=1+

2

2

或kPA=1-

2

2

，
所以直線PA的方程為y=(1+

2

2

)x-1或y=(1-

2

2

)x-1
注：直線方程也可寫成其他形式，如：(2+

2

)x-2y-2=0與(2-

2

)x-2y-2=0等．
（3）以原點(diǎn)為圓心，

2

為半徑的定圓始終與圓M相內(nèi)切．
定圓的方程為x²+y²=2．                  
探究過程為：設(shè)圓M的半徑為r，定圓的半徑為R，
因?yàn)?span id="xldn5h5" class="MathJye">|MO|=

1

2

|PF1|=

1

2

(2

2

-|PF2|)=

2

-

1

2

|PF1|=

2

-r，
所以當(dāng)原點(diǎn)為定圓圓心，半徑R=

2

時，定圓始終與圓M相內(nèi)切．

點(diǎn)評：本題主要考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與圓，圓與圓位置關(guān)系的判斷．