Question

設(shè)M=10a²+81a+207，P=a+2，Q=26-2a；若將lgM，lgQ，lgP適當(dāng)排序后可構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)．
（1）試比較M、P、Q的大小；
（2）求a的值及{a_n}的通項(xiàng)；
（3）記函數(shù)f（x）=a_nx²+2a_n+1x+a_n+2（n∈N*）的圖象在x軸上截得的線段長(zhǎng)為b_n，設(shè)T_n=）（n≥2），求T_n，并證明T₂T₃T₄…T_n＞．

Answer 1

【答案】分析：（1）由M＞0，P＞0，Q＞0可求得a的范圍，作差后通過(guò)分類討論可比較它們間的大小關(guān)系；
（2）由（1）的結(jié)論及l(fā)gM，lgQ，lgP成公差為1的等差數(shù)列可得a值，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n；
（3）設(shè)f（x）與x軸交點(diǎn)為（x₁，0），（x₂，0），由2a_n+1=a_n+a_n+2，知-1為f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，從而f（x）=（x+1）（a_nx+a_n+2）=0，可得x₁，x₂，進(jìn)而可得b_n，利用裂項(xiàng)相消法可得T_n，由，可對(duì)T₂T₃T₄…T_n進(jìn)行放縮得到結(jié)論；
解答：解：（1）由，得-2＜a＜13，
∵M(jìn)-Q=10a²+83a+181＞0（∵△₁＜0），M-P=10a²+80a+205＞0（∵△₂＜0），∴M＞Q，M＞P，
又∵當(dāng)-2＜a＜13時(shí)，P-Q=-24+3a，
則當(dāng)-2＜a＜8時(shí)，P＜Q，此時(shí)P＜Q＜M，
當(dāng)a=8時(shí)，P=Q，此時(shí)P=Q＜M，
當(dāng)8＜a＜13時(shí)，P＞Q，此時(shí)Q＜P＜M；
（2）由（1）知，當(dāng)-2＜a＜8時(shí)，即，∴，
解得，從而a_n=lgP+（n-1）×1=n-2lg2；
當(dāng)8＜a＜13時(shí)，即，∴，a無(wú)解．
綜上，a=，a_n=n-2lg2；
（3）設(shè)f（x）與x軸交點(diǎn)為（x₁，0），（x₂，0），
∵2a_n+1=a_n+a_n+2，∴-1為f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，
∴當(dāng)f（x）=0時(shí)有（x+1）（a_nx+a_n+2）=0，∴，
∴，
又∵a_n=n-2lg2＞0，∴，
∴，
∴=，
又，
∴．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查不等式的證明，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，綜合性強(qiáng)，運(yùn)算量大．