Question

已知數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足：a1=

1

4

，an+bn=1，bn+1=

bn

(1-an)(1+an)

．
（1）求b₁，b₂，b₃，b₄；
（2）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（3）設(shè)S_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1，求實數(shù)a為何值時4aS_n＜b_n恒成立．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)a1=

1

4

，an+bn=1，bn+1=

bn

(1-an)(1+an)

，求出b1=

3

4

，和bn+1=

1

2-bn

，令n=1，2，3即可求得b₁，b₂，b₃，b₄；
（2）根據(jù)bn+1=

1

2-bn

，進行變形得到

1

bn+1-1

=-1+

1

bn-1

，構(gòu)造等差數(shù)列{

1

bn-1

}，并求出其通項，進而可求出數(shù)列{b_n}的通項公式；
（3）根據(jù)（2）結(jié)果，可以求出數(shù)列{a_n}的通項公式，然后利用裂項相消法求S_n，構(gòu)造函數(shù)f（n）=（a-1）n²+（3a-6）n-8，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（n）的最值問題，可求實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵a1=

1

4

，an+bn=1，bn+1=

bn

(1-an)(1+an)

∴b1=

3

4

，bn+1=

1-an

(1-an)(1+an)

=

1

1+an

=

1

2-bn

，
b2=

4

5

，b3=

5

6

，b4=

6

7

（2）∵bn+1-1=

1

2-bn

-1
∴

1

bn+1-1

=

2-bn

bn-1

=-1+

1

bn-1

∴數(shù)列{

1

bn-1

}是以-4為首項，-1為公差的等差數(shù)列
∴

1

bn-1

=-4-(n-1)=-n-3
∴bn=1-

1

n+3

=

n+2

n+3

；
（3）an=1-bn=

1

n+3

，
∴Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1=

1

4×5

+

1

5×6

+

1

(n+3)(n+4)

=

1

4

-

1

n+4

=

n

4(n+4)

∴4aSn-bn=

an

n+4

-

n+2

n+3

=

(a-1)n2+(3a-6)n-8

(n+3)(n+4)

由條件可知（a-1）n²+（3a-6）n-8＜0恒成立即可滿足條件，
設(shè)f（n）=（a-1）n²+（3a-6）n-8
當a=1時，f（n）=-3n-8＜0恒成立
當a＞1時，由二次函數(shù)的性質(zhì)知不可能成立
當a＜1時，對稱軸n=-

3

2

•

a-2

a-1

=-

3

2

(1-

1

a-1

)＜0
f（n）在（1，+∞）為單調(diào)遞減函數(shù)．
f（1）=（a-1）n²+（3a-6）n-8=（a-1）+（3a-6）-8=4a-15＜0
∴a＜

15

4

∴a＜1時4aS_n＜b恒成立
綜上知：a≤1時，4aS_n＜b恒成立．

點評：此題是個難題．考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式利用構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式，及數(shù)列的求和問題，題目綜合性強，特別是問題（3）的設(shè)置，數(shù)列與不等式恒成立問題結(jié)合起來，能有效考查學生的邏輯思維能力，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想．