Question

已知函數(shù)f（x）=plnx+（p-1）x²+1．
（1）當(dāng)p=1時，f（x）≤λx恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．
（2）當(dāng)p＞0時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)p=1時，f（x）≤λx恒成立，等價于1+lnx≤λx，即λ≥

1+lnx

x

，f（x）的定義域為（0，+∞），令h(x)=

1+lnx

x

，則k≥h（x）_max，確定函數(shù)h（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，即可求得實數(shù)λ的取值范圍；
（2）f（x）的定義域為（0，+∞），求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，令f′（x）＞0，可得函數(shù)單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0，可得函數(shù)單調(diào)減區(qū)間．

解答：解：（1）當(dāng)p=1時，f（x）≤λx恒成立，等價于1+lnx≤kx，∴λ≥

1+lnx

x

，f（x）的定義域為（0，+∞）
令h(x)=

1+lnx

x

，則λ≥h（x）_max，
因為h′(x)=-

lnx

x2

，由h′（x）=0得x=1，且當(dāng)x∈（0，1）時，h′（x）＞0；當(dāng)x∈（1，+∞）時，h′（x）＜0．
所以h（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減．
所以h（x）_max=h（1）=1，故λ≥1；
（2）f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=

2(p-1)x2+p

x

當(dāng)p＞1時，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜p＜1時，令f′（x）=0，解得x=

- p 2(p-1)

．
則當(dāng)x∈(0，

- p 2(p-1)

)時，f′（x）＞0；x∈(

- p 2(p-1)

，+∞)，f′（x）＜0；
故f（x）在(0，

- p 2(p-1)

)單調(diào)遞增，在(

- p 2(p-1)

，+∞)單調(diào)遞減．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查恒成立問題，考查函數(shù)的單調(diào)性，分離參數(shù)是關(guān)鍵．