Question

函數(shù)f（x）=log₂（x²+2x）的單調遞減區(qū)間為    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意，本題是一個對數(shù)型復合函數(shù)，外層函數(shù)y=log₂t是一個增函數(shù)，內層函數(shù)是t=x²+2x是一個開口向上的二次函數(shù)，由復合函數(shù)單調性判斷規(guī)則，求出層函數(shù)在定義域上的單調遞減區(qū)間即為所求的函數(shù)f（x）=log₂（x²+2x）的單調遞減區(qū)間，故可先求函數(shù)的定義域，令 x²+2x＞0，此不等式的解集即為函數(shù)的定義域，再研究出內層函數(shù)是t=x²+2x在定義域上的單調減區(qū)間即可得到復合函數(shù)的單調減區(qū)間
解答：解：由題意，函數(shù)f（x）=log₂（x²+2x）是一個復合函數(shù)，外層函數(shù)是y=log₂t，內層函數(shù)是t=x²+2x
令 x²+2x＞0解得x＞0或x＜-2，即函數(shù)f（x）=log₂（x²+2x）的定義域是（-∞，-2）∪（0，+∞）
由于外層函數(shù)y=log₂t是增函數(shù)，內層函數(shù)t=x²+2x在（-∞，-2）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)
故復合函數(shù)f（x）=log₂（x²+2x）在（-∞，-2）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)
綜上知函數(shù)f（x）=log₂（x²+2x）的單調遞減區(qū)間為（-∞，-2）
故答案為（-∞，-2）
點評：本題考查對數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)的單調性，求解此類題，分清內導函數(shù)外層函數(shù)，求出函數(shù)的定義域是解題的關鍵，其一般解題的步驟是先求出函數(shù)的定義域，再研究出外層函數(shù)，內層函數(shù)的單調性，再由復合函數(shù)的單調性的判斷規(guī)則得出復合函數(shù)的單調性，求出單調區(qū)間，此類題規(guī)律固定，同類題都用此方法解題即可