Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=S_n+1（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：

n

2

-

1

3

＜

a2-1

a3-1

+

a3-1

a4-1

+…+

an+1-1

an+2-1

＜

n

2

 （n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列遞推式，再寫一式，兩式相減，可得數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，從而可求數(shù)列的通項(xiàng)；
（2）將通項(xiàng)化簡，裂項(xiàng)，再利用放縮法，即可證明不等式．

解答：（1）解：∵a₁=1，a_n+1=S_n+1
∴a₂=S₁+1=2，a_n=S_n-1+1（n≥2）
兩式相減可得a_n+1=2a_n，
∵a₂=2a₁，∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列
∴a_n=2^n-1；
（2）證明：

an+1-1

an+2-1

=

2n-1

2n+1-1

=

1

2

-

1 2

2n+1-1

∴

a2-1

a3-1

+

a3-1

a4-1

+…+

an+1-1

an+2-1

=

n

2

-(

1

23-2

+

1

24-2

+…+

1

2n+2-2

)＜

n

2

∵

1

2n+2-2

＜

1

2(2n+1-2)

＜…＜

1

2n-1(23-2)

=

1

6

•(

1

2

)n-1
∴

1

23-2

+

1

24-2

+…+

1

2n+2-2

＜

1

6

+

1

6

•

1

2

+…+

1

6

•(

1

2

)n-1=

1

3

(1-

1

2n

)＜

1

3

∴

n

2

-(

1

23-2

+

1

24-2

+…+

1

2n+2-2

)＞

n

2

-

1

3

∴

n

2

-

1

3

＜

a2-1

a3-1

+

a3-1

a4-1

+…+

an+1-1

an+2-1

＜

n

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列與不等式的綜合，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．