Question

如圖，在四棱錐p-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點(diǎn)．
（1）點(diǎn)M在線段PC上，滿足，試確定t的值，使PA∥平面MQB；
（2）在（1）的條件下，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求平面MQB與平面CQB所成角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)底面ABCD為菱形，∠BAD=60°且Q為AD的中點(diǎn)，連結(jié)AC交BQ于一點(diǎn)N，可解得AN=，從而推測當(dāng)時(shí)，PA∥平面MQB；
（2）由已知可得到QA，QB，QP兩兩互相垂直，所以以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以QA、QB、QP所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面法向量求平面MQB與平面CQB所成角的大�。�
解答：解：（1）當(dāng)時(shí)，PA∥平面MQB
下面證明，若PA∥平面MQB，連AC交BQ于N
由AQ∥BC可得，△ANQ∽△BNC，所以．
PA∥平面MQB，PA?平面PAC，平面PAC∩平面MQB=MN，
∴PA∥MN，，即：，
所以時(shí)，滿足題意；
（2）由PA=PD=AD=2，Q為AD的中點(diǎn)，則PQ⊥AD．
又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，
以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以QA、QB、QP所在的直線為x，y，z軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，
則各點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，0，0），B（），Q（0，0，0），P（0，0，）．
．
設(shè)平面MQB的法向量為，可得
，∵PA∥MN，∴，
即，取z=1，得，所以 ，
取平面ABCD的法向量，
∴．
故平面MQB與平面CQB所成角的大小為60°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了共線向量基本定理，考查了直線與平面平行的判定，訓(xùn)練了利用空間向量求二面角的大小，解答的關(guān)鍵是建立正確的空間右手系，隨機(jī)中檔題．