Question

某工廠欲加工一件藝術(shù)品，需要用到三棱錐形狀的坯材，工人將如圖所示的長(zhǎng)方體ABCD-EFGH材料切割成三棱錐H-ACF．

（Ⅰ）若點(diǎn)M，N，K分別是棱HA，HC，HF的中點(diǎn)，點(diǎn)G是NK上的任意一點(diǎn)，求證：MG∥平面ACF；
（Ⅱ）已知原長(zhǎng)方體材料中，AB=2m，AD=3m，DH=1m，根據(jù)藝術(shù)品加工需要，工程師必須求出該三棱錐的高．
（i） 甲工程師先求出AH所在直線與平面ACF所成的角θ，再根據(jù)公式h=AH•sinθ求出三棱錐H-ACF的高．請(qǐng)你根據(jù)甲工程師的思路，求該三棱錐的高．
（ii）乙工程師設(shè)計(jì)了一個(gè)求三棱錐的高度的程序，其框圖如圖所示，則運(yùn)行該程序時(shí)乙工程師應(yīng)輸入的t的值是多少？（請(qǐng)直接寫出t的值，不要求寫出演算或推證的過程）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）證法一：利用線面平行的判定證明MK∥平面ACF，MN∥平面ACF，從而可得平面MNK∥平面ACF，利用面面平行的性質(zhì)可得MG∥平面ACF；證法二：利用線面平行的判定證明MG∥平面ACF；
（Ⅱ）（i）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ACF的一個(gè)法向量，求出AH所在直線與平面ACF所成的角θ，再根據(jù)公式h=AH•sinθ求出三棱錐H-ACF的高
（ii）t=2．
解答：（Ⅰ）證法一：∵HM=MA，HN=NC，HK=KF，
∴MK∥AF，MN∥AC．∵M(jìn)K?平面ACF，AF?平面ACF，
∴MK∥平面ACF，
同理可證MN∥平面ACF，…（3分）
∵M(jìn)N，MK?平面MNK，且MK∩MN=M，
∴平面MNK∥平面ACF，…（4分）
又MG?平面MNK，故MG∥平面ACF．…（5分）
證法二：連HG并延長(zhǎng)交FC于T，連接AT．
∵HN=NC，HK=KF，
∴KN∥FC，則HG=GT，
又∵HM=MA，∴MG∥AT，…（2分）∵M(jìn)G?平面ACF，AT?平面ACF，
∴MG∥平面ACF．…（5分）
（Ⅱ）解：（i）如圖，分別以DA，DC，DH所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．則有A（3，0，0），C（0，2，0），F(xiàn)（3，2，1），H（0，0，1）．…（6分），．
設(shè)平面ACF的一個(gè)法向量，
則有，解得，
令y=3，則，…（8分）
∴，…（9分）
∴三棱錐H-ACF的高為．…（10分）
（ii）t=2．…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系和算法初步等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力及運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想及應(yīng)用意識(shí)．