Question

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）證明：函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)；
（3）若對(duì)任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用奇函數(shù)定義f（x）=-f（x）中的特殊值求a，b的值；
（2）按按取點(diǎn)，作差，變形，判斷的過(guò)程來(lái)即可．
（3）首先確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性，然后結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)把不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知識(shí)求出k的取值范圍．

解答： 解：（1）因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，函數(shù)的定義域?yàn)镽，
∴f（x）=0，
即

-1+b

2+a

=0，
解得：b=1，
f（-1）=-f（1），
即

-2-1+1

1+a

=-

-2+1

4+a

，
解得：a=2
證明：（2）由（1）得：f（x）=

-2x+1

2x+1+2

，
設(shè)x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=

-2x1+1

2x1+1+2

-

-2x2+1

2x2+1+2

=

-2x1+2+2x2+2

(2x1+1+2)(2x2+1+2)

，
∵y=2^x在實(shí)數(shù)集上是增函數(shù)且函數(shù)值恒大于0，
故2x1+1+2＞0，2x2+1+2＞0，-2x1+2+2x2+2＞0．
即f（x₁）-f（x₂）＞0．
∴f（x）在R上是單調(diào)減函數(shù)；
（3）由（2）知f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)．
又因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，
所以f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0，
等價(jià)于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
因?yàn)閒（x）為減函數(shù)，由上式可得：t²-2t＞k-2t²．
即對(duì)一切t∈R有：3t²-2t-k＞0，
從而判別式△=4+12k＜0⇒k＜-

1

3

．
所以k的取值范圍是k＜-

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用；同時(shí)考查一元二次不等式恒成立問(wèn)題的解決策略．