Question

已知函數(shù)f(x)=2

3

sin2

x

2

+sinx-

3

+1．
（Ⅰ）求f(

π

3

)的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）作出f（x）在一個周期內(nèi)的圖象．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把x=

π

3

直接代入函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值．
（Ⅱ）利用兩角和差的正弦公式化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求出它的增區(qū)間．
（Ⅲ）用五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+∅）在一個周期上的簡圖．

解答：解：（Ⅰ）由已知f(

π

3

)=2

3

sin2

π

6

+sin

π

3

-

3

+1…（2分）
=

3

2

+

3

2

-

3

+1=1．…（4分）
（Ⅱ）∵f(x)=

3

(1-cosx)+sinx-

3

+1…（6分）
=sinx-

3

cosx+1=2sin(x-

π

3

)+1．…（7分）
∵函數(shù)y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

](k∈Z)，…（8分）
由  2kπ-

π

2

≤x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，得2kπ-

π

6

≤x≤2kπ+

5π

6

．
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-

π

6

，2kπ+

5π

6

](k∈Z)．…（9分）
（Ⅲ）列表：

x	π 3	5π 6	4π 3	11π 6	7π 3
x- π 3	0	π 2	π	3π 2	2π
2sin（x- π 3 ）	0	2	0	-2	0

作出f（x）在一個周期[ 

π

3

， 

7π

3

 ]上的圖象如圖所示．…（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查用五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+∅）在一個周期上的簡圖，兩角和差的正弦公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．