Question

已知點(diǎn)M（x₁，f（x₁））是函數(shù)f（x）=

1

x

，x∈（0，+∞）圖象C上的一點(diǎn)，記曲線C在點(diǎn)M處的切線為l．
（1）求切線l的方程；
（2）設(shè)l與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為A、B，求△AOB周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（x）的解析式求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，把M的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中表示出切線方程的斜率，把M的橫坐標(biāo)代入f（x）得到切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)和表示出的斜率寫出切線的方程即可；
（2）根據(jù)（1）表示出的切線方程，令x=0求出切線與y軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)，令y=0求出切線與x軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后利用勾股定理表示出線段AB的長(zhǎng)度，設(shè)三角形AOB的周長(zhǎng)m等于|OA|+|OB|+|AB|，然后設(shè)t=x₁+

1

x1

，根據(jù)x₁的范圍求出t的范圍，根據(jù)基本不等式求出t的最小值，進(jìn)而求出此時(shí)x₁的值，代入m即可得到m的最小值，即為三角形周長(zhǎng)的最小值．

解答：解：（1）f′（x）=-

1

x2

，
∴k=f′（x₁）=-

1

x 2 1

．
∴切線方程為y-

1

x1

=-

1

x 2 1

（x-x₁），即y=-

1

x 2 1

x+

2

x1

；
（2）在y=-

1

x 2 1

x+

2

x1

中，
令y=0得x=2x₁，∴A（2x₁，0）．
令x=0，得y=

2

x1

，∴B(0，

2

x1

)．
∴△AOB的周長(zhǎng)m=2x₁+

2

x1

+

(2x1)2+( 2 x1 )2

．
∴m=2(x1+

1

x1

+

x 2 1 + 1 x 2 1

)，x₁∈（0，+∞）．
令t=x₁+

1

x1

，∵x₁∈（0，+∞），∴t≥2．
∴當(dāng)t=2，即x₁=1時(shí)，m_最小=2（2+

2

）．
故△AOB周長(zhǎng)的最小值是2（2+

2

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，會(huì)利用基本不等式求函數(shù)的最值，是一道中檔題．