Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，E是棱CC₁上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是AB中點(diǎn)，AC=BC=2，
AA₁=4．
（Ⅰ）求證：CF⊥平面ABB₁；
（Ⅱ）若二面角A-EB₁-B的大小是45°，求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（I）由直棱柱的結(jié)構(gòu)特征可得BB₁⊥平面ABC，進(jìn)而由線面垂直的性質(zhì)得到CF⊥BB₁，進(jìn)而由等腰三角形三線合一可得CF⊥AB，進(jìn)而由線面垂直的判定定理得到CF⊥平面ABB₁；
（Ⅱ）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線CA，CB，CC₁為x，y，z軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，設(shè)E（0，0，m），分別求出平面AEB₁的法向量及平面EBB₁的法向量，結(jié)合二面角A-EB₁-B的大小是45°，構(gòu)造關(guān)于m的方程，解方程求出m值，進(jìn)而可得CE的長(zhǎng)．
解答：證明：（Ⅰ）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，
∴BB₁⊥平面ABC．
又∵CF?平面ABC，
∴CF⊥BB₁．
∵∠ACB=90°，AC=BC=2，F(xiàn)是AB中點(diǎn)，
∴CF⊥AB．
又∵BB₁∩AB=B，BB₁?平面ABB₁，AB?平面ABB₁．
∴CF⊥平面ABB₁．
解：（Ⅱ）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線CA，CB，CC₁為x，y，z軸正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz，
則C（0，0，0），A（2，0，0），B₁（0，2，4）．
設(shè)E（0，0，m），平面AEB₁的法向量，
則，．
且，．
于是
所以
取z=2，則
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，
∴BB₁⊥平面ABC．
又∵AC?平面ABC，
∴AC⊥BB₁．
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC．
∵BB₁∩BC=B，
∴AC⊥平面ECBB₁．
∴是平面EBB₁的法向量，．
∵二面角A-EB₁-B的大小是45°，
∴．
解得．
∴．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，兩點(diǎn)之間的距離運(yùn)算，向量語(yǔ)言表示面面夾角，是一道與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，難度中檔．