Question

已知函數(shù)f（x）=

log2(1-x)，-1≤x＜k x3-3x+1，k≤x≤ 3

，若函教f（x）的值域是[-1，1]，則實數(shù)k的取值范圍是（　　）

• A、[-1，0]
• B、[0，

  1

  2

  ]
• C、[

  1

  2

  ，1]
• D、[1，

  3

  ]

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：第一步：判斷函數(shù)f（x）在不同區(qū)間上的單調(diào)性；
第二步：求出區(qū)間端點處及臨界點的函數(shù)值；
第三步：作出f（x）在[-1，

3

]內(nèi)的圖象；
第四步：對臨界值k進行討論，即可找到使函教f（x）的值域為[-1，1]的k的值．

解答： 解：當(dāng)-1≤x＜k時，f（x）=log₂（1-x）為減函數(shù)，且在區(qū)間左端點處有f（-1）=1．
令f（x）=-1，則x=

1

2

．
當(dāng)k≤x≤

3

時，f（x）=x³-3x+1，
則f'（x）=3x²-3，令f'（x）=0，則x=1，或x=-1，
所以函數(shù)在（-1，1）上為減函數(shù)，在[1，

3

]上為增函數(shù)，
從而函數(shù)有極小值f（1）=1³-3×1+1=-1，函數(shù)在右端點處的函數(shù)值為f(

3

)=1．
畫出函數(shù)f（x）在[-1，

3

]內(nèi)的大致圖象，如右圖所示．
根據(jù)函教f（x）的值域是[-1，1]，現(xiàn)對k進行討論：
（1）若k＜0，則當(dāng)k＜x＜0時，f（k）＞f（0）=0³-3×0+1=1，不合題意；
（2）若k＞

1

2

，則當(dāng)

1

2

＜x＜k時，f(x)＜f(

1

2

)=log2(1-

1

2

)=-1，不合題意；
（3）若0≤k≤

1

2

，
①當(dāng)-1≤x＜k時，-1＜f（x）≤f（-1）=1，符合題意，
②當(dāng)k≤x＜

3

時，f（1）≤f（x）≤f(

3

)，即-1≤f（x）≤1，符合題意．
綜合①、②知，0≤k≤

1

2

．
故選B．

點評：1．本題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性，值域及圖象，關(guān)鍵是弄清臨界值k的變化情況．
2．對于分段函數(shù)的應(yīng)用，常運用數(shù)形結(jié)合思想，借助圖象對函數(shù)進行分段處理，同時也體現(xiàn)了分類討論的思想．