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已知在平面直角坐標系xoy中，圓C經過函數f（x）=x3+x2-3x-9（x∈R）的圖象與兩坐標軸的交點，C為圓心．
（1）求圓C的方程；
（2）在直線l：2x+y+19=0上有一個動點P，過點P作圓C的兩條切線，設切點分別為M，N，
求四邊形PMCN面積的最小值及取得最小值時點P的坐標．
【答案】分析：（1）解三次方程，得x1=-3，x2=3．令x=0得f（0）=-9．由此得到函數圖象三個交點分別是（3，0），（-3，0），（0，-9），再由圓方程的一般式解方程組，即可得到圓C的方程；
（2）根據圓的對稱性和三角形面積公式，可得SPMCN=5PM，因此要求面積最小值即求PM的最小值．由點到直線的距離公式和勾股定理加以計算即可得到當P（-6，-7）時，四邊形PMCN面積的最小值是10．
解答：解：（1）由（x）=x3+x2-3x-9=0，得（x+3）2（x-3）=0
解之得x1=-3，x2=3．
再由x=0，得f（0）=-9
∴函數圖象與兩坐標軸有三個交點分別是（3，0），（-3，0），（0，-9）---（3分）
設經過該三點圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，
將三點坐標代入，解得：D=0，E=8，F=-9，
所以圓的方程是：x2+y2+8y-9=0，--------（8分）
（2）由題意，得：SPMCN=5PM，因此要求面積最小值即求PM的最小值，
而PM=，
∵PC最小值為點C到直線l的距離，即PCmin==3，-------10
∴PMmin==2，所以四邊形PMCN面積的最小值是10．-（12分）．
此時PC的方程為x-2y-8=0，與直線l聯解可得得P（-6，-7）---（14分）．
點評：本題給出經過三點的圓，求圓的方程并求四邊形面積的最小值，著重考查了點到直線的距離公式、圓的方程和面積最值的求法等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

選修4-4：坐標系與參數方程
已知在平面直角坐標系xOy內，點P（x，y）在曲線C：
x=1+cosθ
y=sinθ
(θ為參數，θ∈R）上運動．以Ox為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcos(θ+
π
4
)=0．
（Ⅰ）寫出曲線C的標準方程和直線l的直角坐標方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C相交于A、B兩點，點M在曲線C上移動，試求△ABM面積的最大值，并求此時M點的坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知在平面直角坐標系中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為F(-
3
，0)，且過點D（2，0）．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）設點A(1，
1
2
)，若P是橢圓上的動點，求線段PA的中點M的軌跡方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（坐標系與參數方程選做題）已知在平面直角坐標系xoy中，圓C的參數方程為
x=
3
+3cosθ
y=1+3sinθ
，（θ為參數），以ox為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcos(θ+
π
6
)=0，則圓C截直線l所得的弦長為
4
2
4
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知在平面直角坐標系中，O（0，0），A（1，-2），B（1，1），C（2，-1），動點M（x，y）滿足條件
-2≤
OM
•
OA
≤2
1≤
OM
•
OB
≤2
，則z=
OM
•
OC
的最大值為（　�。�
A、-1B、0C、3D、4

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知在平面直角坐標系xOy中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為F(-
3
，0)，右頂點為D（2，0），設點A(1，
1
2
)．
（Ⅰ）求該橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若P是橢圓上的動點，求線段PA中點M的軌跡方程；
（Ⅲ）是否存在直線l，滿足l過原點O并且交橢圓于點B、C，使得△ABC面積為1？如果存在，寫出l的方程；如果不存在，請說明理由．

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