Question

在△ABC中，tanA+tanB+

3

=

3

tanA•tanB，且sinA•cosA=

3

4

，則此三角形為

等邊三角形

．

Answer 1

分析：將已知的第一個等式變形，利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡，求出tan（A+B）的值，由A與B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A+B的度數(shù)，進而確定出C的度數(shù)，再將第二個等式利用同角三角函數(shù)間的基本關系化簡，得到關于tanA的方程，求出方程的解得到tanA的值，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，即可確定出三角形ABC的形狀．

解答：解：∵tanA+tanB+

3

=

3

tanA•tanB，即tanA+tanB=-

3

（1-tanAtanB），
∴

tanA+tanB

1-tanAtanB

=tan（A+B）=-

3

，又A與B都為三角形的內(nèi)角，
∴A+B=120°，即C=60°，
∵sinAcosA=

sinAcosA

sin2A+cos2A

=

tanA

1+tan2A

=

3

4

，
∴tanA=

3

，∴A=60°，
則△ABC為等邊三角形．
故答案為：等邊三角形

點評：此題考查了三角形形狀的判斷，涉及的知識有：兩角和與差的正切函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關系，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式及基本關系是解本題的關鍵．