Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，EF⊥AC，EF⊥A₁D則EF和BD₁的關系是

平行

．

Answer 1

分析：法一：先證EF垂直面AB₁C，然后再BD₁證垂直面AB₁C，最后利用直線與平面垂直的性質定理即可得知結論；
法二：建立以D₁為原點的空間直角坐標系D₁-xyz，設正方形的邊長為1，利用向量法，我們易求出BD₁與A₁D和AC都垂直，根據共垂線的性質，可以得到答案．

解答：解：法一：根據圖象可知：
EF⊥AC，EF⊥A₁D，A₁D∥B₁C，B₁C⊥EF，AC∩B₁C=C，
∴EF⊥面AB₁C，而BD₁⊥面AB₁C，即BD₁∥EF．
法二：建立以D₁為原點的空間直角坐標系D₁-xyz，且設正方形的邊長為1
所以就有D₁（0，0，0），B（1，1，0），A₁（1，0，0），D（0，0，1），A（1，0，1），C（0，1，1）
所以

A1D

=（-1，0，1），

AC

=（-1，1，0），

BD1

=（-1，-1，1）
所以

A1D

•

BD1

=-1+1=0 所以A₁D⊥BD₁，

AC

•

BD1

=1-1=0 所以AC⊥BD₁，
所以BD₁與A₁D和AC都垂直
又∵EF是AC、A₁D的公共垂線，
∴BD₁∥EF．
故答案為：平行．

點評：本題主要考查直線與平面垂直的性質定理的應用，空間中直線與直線之間的位置關系，其中建立空間坐標系，借助向量分析直線與直線之間的位置關系是解答本題的關鍵．