Question

過點(diǎn)M（1，0）作直線與拋物線y²=4x交于A、B兩點(diǎn)，則

1

|AM|

+

1

|BM|

=

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程，代入拋物線方程消去y，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂和x₁x₂=，進(jìn)而根據(jù)拋物線定義可知

1

|AM|

+

1

|BM|

=

1

x1+1

+

1

x2+1

即可求得答案．

解答：解：設(shè)直線的斜率為k，
若k存在，則設(shè)直線方程為y=k（x-1），代入y²=4x，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1，
∴

1

|AM|

+

1

|BM|

=

1

x1+1

+

1

x2+1

=

x1+x2+2

x1x2+x1+x2+1

=1．
若k不存在，直線方程為x=1，則A（1，2），B（1，-2），∴

1

|MA|

+

1

|MB|

=1，
綜上，

1

|MA|

+

1

|MB|

=1，
故答案為1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．再涉及焦點(diǎn)弦的問題時(shí)�？煽紤]用圓錐曲線的定義來解決．