如圖:△ABC為等腰直角三角形,∠BAC=90°,將△ABC沿它的垂直方向平移至△A1B1C1,且AB=AA1=4,D、E、F分別為B1A、C1C、BC的中點.
(1)求證:DE∥平面ABC;
(2)求直線AF與平面AB1E所成角的大。
分析:(1)取AB的中點M,連接MD,CD,由MD是△ABB1的中位線,知MD∥BB1,MD=
1
2
BB1
,由EC∥BB1,EC=
1
2
BB1
,知四邊形CEDM是平行四邊形,由此能證明DE∥平面ABC.
(2)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,可求得平面AEB1的一法向量
n
為(2,1,-2),又
AF
=(2,2,0)
由此能求出直線AF與平面AEB1所成角.
解答:(1)證明:取AB的中點M,連接MD,CD,
∵M(jìn)D是△ABB1的中位線,
MD∥BB1,MD=
1
2
BB1

又∵EC∥BB1,EC=
1
2
BB1

∴MD∥ED,MD=ED,
∴四邊形CEDM是平行四邊形,
∴DE∥CMDE?平面ABCCM?平面ABC,
∴DE∥平面ABC.…(5分)
(2)解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,
∵AB=AA1=4,D、E、F分別為B1A、C1C、BC的中點.
∴A(0,0,0),E(0,4,2),B1(4,0,4),
AE
=(0,4,2)
,
AB1
=(4,0,4)

設(shè)面AEB1的一法向量
n
=(x,y,z),
n
AE
=0
,
n
AB1
=0
,
4y+2z=0
4x+4z=0
,
n
=(2,1,-2)
AF
=(2,2,0)

sinθ=
|
AF
n
|
|
AF
|•|
n
|
=
6
2
2
•3
=
2
2
,
所以直線AF與平面AEB1所成角為
π
4
.…(10分)
點評:本題考查直線和平面平行的證明和直線與平面所成角的求法.解題時要認(rèn)真審題,注意合理地把立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題,注意向量法的合理運用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,△ABC為等腰三角形,∠A=∠B=30°,設(shè)
AB
=
a
,
AC
=
b
,AC邊上的高為BD.若用
a
b
表示
BD
,則表達(dá)式為( 。精英家教網(wǎng)
A、
3
2
a
+
b
B、
3
2
a
-
b
C、
3
2
b
+
a
D、
3
2
b
-
a

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,△ABC為等腰直角三角形,直線l與AB相交且l⊥AB,直線l截這個三角形所得的位于直線在右方的圖形面積為y,點A到直線l的距離為x,則y=f(x)的圖象大致為四個選項中的(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年人教A版高中數(shù)學(xué)必修一3.2函數(shù)模型及其應(yīng)用練習(xí)卷(二)(解析版) 題型:選擇題

如圖,△ABC為等腰直角三角形,直線l與AB相交且l⊥AB,直線l截這個三角形所得的位于直線右方的圖形面積為y,點A到直線l的距離為x,則y=f(x)的圖象大致為四個選項中的(  )

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年黑龍江省哈爾濱三中高三(上)10月月考數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:選擇題

如圖,△ABC為等腰三角形,∠A=∠B=30°,設(shè),AC邊上的高為BD.若用表示,則表達(dá)式為( )

A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案