Question

已知O為坐標原點，點E、F的坐標分別為（-1，0）、（1，0），動點A滿足，N為AF的中點，點M在線段AE上，．
（Ⅰ）求點M的軌跡W的方程；
（Ⅱ）點在軌跡W上，直線PF交軌跡W于點Q，且，若，求實數m的范圍．

Answer 1

【答案】分析：對于（Ⅰ）求點M的軌跡W的方程，就是找點M所滿足的條件，把點M所滿足的幾何約束條件轉化為代數等式．
對于（Ⅱ）由已知的向量等式轉化為代數等式，消y用λ的范圍來求實數m的范圍．
解答：解：（Ⅰ）∵N為AF的中點，且，
∴MN垂直平分AF．（1分）
又點M在線段AE上，
∴．．
∵，（4分）
∴點M的軌跡W是以E、F為焦點的橢圓，且半長軸a=3，
半焦距c=1．（5分）
∴b²=a²-c²=3²-1=8．
∴點M的軌跡W的方程為．（7分）
（Ⅱ）設Q（x₁，y₁），
∵，，
∴∴（9分）
由點P、Q均在橢圓W上，
∴（11分）
消去y并整理，得，
∵，∴．
解得2≤m≤4．（14分）
點評：向量的坐標表示，實際是向量的代數表示．在引入向量的坐標表示后，可使向量運算完全代數化，將數與形緊密的結合了起來