Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=

1

2

，

2

an

=

1

an+1

+

1

an-1

（n≥2，n∈N₊），令b_n=a_na_n+1，則數(shù)列{b_n}的前n項和為

n

n+1

．

Answer 1

分析：由等差中項的性質可知，數(shù)列{

1

an

}是以1為首項，以d=

1

a2

-

1

a1

=1為公差的等差數(shù)列，結合等差數(shù)列的通項公式可求

1

an

，進而可求a_n，代入b_n=a_na_n+1=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂項求和即可求解

解答：解：∵a₁=1，a₂=

1

2

，

2

an

=

1

an+1

+

1

an-1

∴數(shù)列{

1

an

}是以1為首項，以d=

1

a2

-

1

a1

=1為公差的等差數(shù)列
∴

1

an

=1+n-1=n
∴an=

1

n

∵b_n=a_na_n+1=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴b₁+b₂+…+b_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

故答案為：

n

n+1

點評：本題主要考查了等差中項法在等差數(shù)列的判斷中的應用，等差數(shù)列的通項公式及裂項求和方法的應用