已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=
3
2
，若橢圓與直線x+y+1=0交于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求橢圓的方程．
分析：先設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)離心率的范圍求得a和c的關(guān)系，進(jìn)而表示出b和a的關(guān)系，代入橢圓方程，根據(jù)OP⊥OQ判斷出x1x2+y1y2=0，直線與橢圓方程聯(lián)立消去y，進(jìn)而根據(jù)表示出x1x2和y1y2，根據(jù)x1x2+y1y2=0求得b的值．進(jìn)而橢圓的方程可得．
解答：解：由e=
3
2
得a=2b
設(shè)橢圓方程為
x2
4b2
+
y2
b2
=1
由于橢圓與直線x+y+1=0交于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），
若設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），
則x1x2+y1y2=0        ①
由
x2
4b2
+
y2
b2
=1
x+y+1=0
得
x1x2=
4-4b2
5
y1y2=
1-4b2
5

代入①式解得b2=
5
8
，a2=4b2=
5
2

∴橢圓的方程為：
x2
5
2
+
y2
5
8
=1，即
2x2
5
+
8y2
5
=1．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)．直線與圓錐曲線的關(guān)系，以及平面向量的幾何由意義．考查了基本知識(shí)的識(shí)記和基本的運(yùn)算能力．
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，短軸長為2，一條準(zhǔn)線l的方程為x=2．
（1）求橢圓方程；
（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N，求證：線段ON的長為定值．

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已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長是短軸長的2倍，且經(jīng)過點(diǎn)M（2，1），直線l平行OM，且與橢圓交于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn)．
（1）求橢圓方程；
（2）若∠AOB為鈍角，求直線l在y軸上的截距m的取值范圍；
（3）求證直線MA、MB與x軸圍成的三角形總是等腰三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為
2
2
，它的一個(gè)頂點(diǎn)為拋物線x2=4y的焦點(diǎn)．
（I）求橢圓方程；
（II）若直線y=x-1與拋物線相切于點(diǎn)A，求以A為圓心且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程；
（III）若斜率為1的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，求△OMN面積的最大值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆廣東省汕頭市高二第一學(xué)期期末考試文科數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且經(jīng)過、、三點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線與橢圓交于、兩點(diǎn).

①若，求的長；

②證明：直線與直線的交點(diǎn)在直線上．

 

 

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