已知{an}是由非負整數組成的無窮數列,該數列前n項的最大值記為An,第n項之后各項,
…的最小值記為Bn,dn=An-Bn.
(I)若{an}為2,1,4,3,2,1,4,3…,是一個周期為4的數列(即對任意n∈N*,),寫出d1,d2,d3,d4的值;
(II)設d為非負整數,證明:dn=-d(n=1,2,3…)的充分必要條件為{an}為公差為d的等差數列;
(III)證明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3…),則{an}的項只能是1或2,且有無窮多項為1.
(I) ,
.
(II)見解析 (III)見解析
【解析】充分利用題目所給信息進行反復推理論證.要證明充要條件,需要充分性和必要性兩個方面敘述.
(I) ,
.
(II) 充分性:因為是公差為
的等差數列,且
,所以
,
因此,
.
必要性:因為,所以
.
又因為,所以
.
于是.
因此, ,即
是公差為
的等差數列.
(III)因為a1=2,dn=1,所以,
,
故對任意,
.
假設,中存在大于2的項,
設m為滿足的的最小正整數,
則,并且對任意
,
又因為a1=2,所以,且
.
于是.
故,與
矛盾.
所以對于任意,都有
,即非負整數數列
的各項只能為1或2,.
因為對任意,
,
所以.
故
因此,對于任意正整數,存在
滿足
,且
,即數列{an}有無窮多項為1.
【考點定位】本題考查了數列的周期性,等差數列.考查了推理論證能力和數據處理能力.試題難度較大,解答此題,需要非常強的分析問題和解決問題的能力.本題是一個信息題,考查了學生對知識的遷移能力.
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…,用反證法證明a3=2.
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