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已知{an}是由非負整數組成的無窮數列,該數列前n項的最大值記為An,第n項之后各項…的最小值記為Bn,dn=An-Bn.

(I)若{an}為2,1,4,3,2,1,4,3…,是一個周期為4的數列(即對任意n∈N*),寫出d1,d2,d3,d4的值;

(II)設d為非負整數,證明:dn=-d(n=1,2,3…)的充分必要條件為{an}為公差為d的等差數列;

(III)證明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3…),則{an}的項只能是1或2,且有無窮多項為1.

 

【答案】

(I) ,. (II)見解析 (III)見解析

【解析】充分利用題目所給信息進行反復推理論證.要證明充要條件,需要充分性和必要性兩個方面敘述.

(I) ,.

(II) 充分性:因為是公差為的等差數列,且,所以,

因此,.

必要性:因為,所以.

又因為,所以.

于是.

因此, ,即是公差為的等差數列.

(III)因為a1=2,dn=1,所以,

故對任意.

假設,中存在大于2的項,

設m為滿足的的最小正整數,

,并且對任意,

又因為a1=2,所以,且.

于是.

,與矛盾.

所以對于任意,都有,即非負整數數列的各項只能為1或2,.

因為對任意,

所以.

因此,對于任意正整數,存在滿足,且,即數列{an}有無窮多項為1.

【考點定位】本題考查了數列的周期性,等差數列.考查了推理論證能力和數據處理能力.試題難度較大,解答此題,需要非常強的分析問題和解決問題的能力.本題是一個信息題,考查了學生對知識的遷移能力.

 

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(Ⅰ)若{an}為2,1,4,3,2,1,4,3…,是一個周期為4的數列(即對任意n∈N*,an+4=an),寫出d1,d2,d3,d4的值;
(Ⅱ)設d是非負整數,證明:dn=-d(n=1,2,3…)的充分必要條件為{an}是公差為d的等差數列;
(Ⅲ)證明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,…),則{an}的項只能是1或者2,且有無窮多項為1.

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