Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+1（x＞0）
（1）若對任意的x∈[1，+∞），f（x）≤0恒成立，求實數(shù)a的最小值．
（2）若a=且關(guān)于x的方程f（x）=-+b在[1，4]上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）設(shè)各項為正的數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=lna_n+a_n+2，n∈N^*．求證：a_n≤2ⁿ-1．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導(dǎo)數(shù)f′（x），對任意的x∈[1，+∞），f（x）≤0恒成立，等價于f（x）在[1，+∞）上的最大值小于等于0，根據(jù)a的范圍分類討論，利用導(dǎo)數(shù)即可求得f（x）的最大值；
（2）表示出方程，分離出b，然后構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx+（x＞0），利用導(dǎo)數(shù)可求出g（x）在[1，4]上的值域，作出g（x）的草圖，由圖象即可求得b的范圍；
（3）由（1）得a=1時f（x）≤0，即lnx≤x-1，則a_n+1=lna_n+a_n+2可化為a_n+1≤a_n-1+a_n+2=2a_n+1，即a_n+1+1≤2（a_n+1），所以，由此構(gòu)造n-1個不等式累乘即可得到結(jié)論；
解答：解：（1）f′（x）==（x＞0），
當(dāng)a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
f（x）在[1，+∞）上無最大值，不合題意；
當(dāng)0＜即a≥1時，f′（x）≤0，f（x）在[1，+∞）上遞減，
所以f（x）在[1，+∞）上的最大值為f（1）=-a+1，
由f（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，得-a+1≤0，解得a≥1；
當(dāng)即0＜a＜1時，x∈[1，）時f′（x）＞0，f（x）遞增，x∈（，+∞）時f′（x）＜0，f（x）遞減，
所以=-lna，則-lna≤0，解得a≥1，此時無解；
綜上，a≥1，所以實數(shù)a的最小值為1；
（2）f（x）=-+b，即lnx+=b，
令g（x）=lnx+（x＞0），則g′（x）==，
當(dāng)1≤x＜2時g′（x）＜0，g（x）遞減，當(dāng)2＜x≤4時g′（x）＞0，g（x）遞增，
所以x=2時g（x）取得最小值為ln2-2，
又g（1）=-1，g（4）=ln4-1，所以g（x）的最大值為ln4-1，
作出g（x）在[1，4]上的草圖如下：

由于方程在[1，4]上恰有兩個不相等的實數(shù)根，
根據(jù)圖象可知b的范圍為（ln2-2，-1]；
證明：（3）由（1）知，因為a_n+1=lna_n+a_n+2，
所以a_n+1≤a_n-1+a_n+2=2a_n+1，即a_n+1+1≤2（a_n+1），
所以≤2×2×2×…×2=2^n-1，即，
所以a_n+1≤2ⁿ，即；
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值、數(shù)列與不等式的綜合、函數(shù)恒成立等知識，解決（3）問的關(guān)鍵是借助（1）問結(jié)論恰當(dāng)構(gòu)造不等式．