Question

高為8的圓臺(tái)內(nèi)有一個(gè)半徑為2 的球O₁，球心O₁在圓臺(tái)的軸上，球O₁與圓臺(tái)的上底面、側(cè)面都相切，圓臺(tái)內(nèi)可再放入一個(gè)半徑為3的球O₂，使得球O₂與球O₁、圓臺(tái)的下底面及側(cè)面都只有一個(gè)公共點(diǎn)，除球O₂，圓臺(tái)內(nèi)最多還能放入半徑為3的球的個(gè)數(shù)是（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據(jù)放球的要求，加入的小球和球O₂與球O₁、圓臺(tái)的下底面及側(cè)面都只有一個(gè)公共點(diǎn)，即加入小球的球心與O₂均勻分布在與底面距離為3，以到圓臺(tái)的軸的距離為|OO₂|=

(3+2)2-32

=4的圓周上．

解答：解：由分析可知：原問題即需要考查半徑為4的圓周上均勻分布著幾個(gè)半徑為3且不相交的圓，如圖所示，設(shè)∠POO₂=∠POO₃=α，
則sinα=

3

4

，∵

2

2

＜

3

4

＜

3

2

，
∴45°＜α＜60°，
∴90°＜2α＜120°．故圓臺(tái)內(nèi)最多還能放入半徑為3的球的個(gè)數(shù)是2．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題需要較強(qiáng)的空間想象能力和計(jì)算能力，把問題進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化是解決的關(guān)鍵．