Question

已知函數(shù)f(x)=(cosx+sinx)2+

3

cos2x-1．
（1）求f（x）的最小正周期和圖象的對稱軸方程；
（2）求f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）先利用三角函數(shù)的輔助角公式化成Asin（wx+∅）（其中∅為輔助角）的形式，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解；
（2）值域與最值是緊密相連的，將式子Asin（wx+∅）中的wx+∅看成整體，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象求Asin（wx+∅）最大最小值．

解答：解：（1）f(x)=2sinxcosx+

3

cos2x（2分）=sin2x+

3

cos2x（4分）
=2sin(2x+

π

3

)（6分）
所以，函數(shù)f（x）的最小正周期為π，（7分）
由2x+

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z，得x=

kπ

2

+

π

12

，k∈Z，
所以，函數(shù)f（x）圖象的對稱軸方程為x=

kπ

2

+

π

12

，k∈Z，（9分）
（2）因為x∈[0，

π

2

]，
所以2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]（10分）
所以-

3

≤2sin(2x+

π

3

)≤2
所以，f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值為2，最小值為-

3

（12分）

點評：本題主要考查輔助角公式以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)．由兩角和與差的三角逆用公式將asinx+bcosx引入輔助角合并為a2+b2sin（wx+∅）（其中∅為輔助角）的形式．