Question

已知曲線(xiàn)f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N^*）與直線(xiàn)x=1交于點(diǎn)P，若設(shè)曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)P處的切線(xiàn)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x_n，則lgx₁+lgx₂+…+lgx₉的值為（　　）

A．-1

B．1

C．-2

D．2

Answer 1

分析：先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線(xiàn)的斜率k，代入點(diǎn)斜式方程求出過(guò)（1，1）的切線(xiàn)方程，在切線(xiàn)方程中令y=0，可得x_n，然后根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可得到結(jié)論．

解答：解：由題意得f′（x）=（n+1）xⁿ，
設(shè)過(guò)（1，1）的切線(xiàn)斜率k，則k=f′（1）=n+1，
∴切線(xiàn)方程為y-1=（n+1）（x-1）
令y=0，可得x=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
即x_n=

n

n+1

，
∴l(xiāng)gx₁+lgx₂+…+lgx₉=lg（x₁x₂…x₉）
=lg（

1

2

×

2

3

×…×

9

10

）
=lg

1

10

=-1，
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及過(guò)某一定點(diǎn)的切線(xiàn)方程，對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，關(guān)鍵是正確求出導(dǎo)數(shù)和運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則．