Question

判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間是否存在零點．
（1）f（x）=x²-3x-18，x∈[1，8]；
（2）f（x）=log₂（x+2）-x，x∈[1，3]．

Answer 1

解：（1）令f（x）=0得x²-3x-18=0，x∈[1，8]
'∴（x-6）（x+3）=0，
∴x=6∈[1，8]，x=-3∉[1，8]，
故f（x）=x²-3x-18，x∈[1，8]存在零點．

（2）方法一：
∵f（1）=log₂3-1＞log₂2-1=0，f（3）=log₂5-3＜log₂8-3=0，
∴f（1）•f（3）＜0，
故f（x）=log₂（x+2）-x，x∈[1，3]存在零點
方法二：設y=log₂（x+2），y=x，在同一直角坐標系中畫出它們的圖象，
從圖象中可以看出當1≤x≤3時，兩圖象有一個交點，
因此f（x）=log₂（x+2）-x，x∈[1，3]存在零點．
分析：利用函數(shù)零點的存在定理確定出零點是否存在，或者通過解方程、數(shù)形結(jié)合解出其零點，
（1）可以利用零點的存在性定理或直接求出零點，
（2）可以利用零點的存在性定理或利用兩圖象的交點來確定函數(shù)是否有零點．
點評：本題考查函數(shù)零點的確定方法，考查函數(shù)與方程的思想，考查學生的數(shù)形結(jié)合思想．也可根據(jù)連續(xù)函數(shù)零點的存在定理進行零點存在的判定．