Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且有|a_n+1|=|a_n+1|．
（1）寫出a₃所有可能的值；
（2）是否存在一個數(shù)列{a_n}滿足：對于任意正整數(shù)n，都有a_n+6=a_n成立？若有，請寫出這個數(shù)列的前6項，若沒有，說明理由；
（3）求|a₁+a₂+…+a₁₀|的最小值．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：綜合題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）根據(jù)a₁=1，且有|a_n+1|=|a_n+1|，即可寫出a₃所有可能的值；
（2）利用a₁=1，且有|a_n+1|=|a_n+1|，對于任意正整數(shù)n，都有a_n+6=a_n成立，即可寫出這個數(shù)列的前6項；
（3）解法一：確定a₁，a₂，…，a₁₀中一定有5個奇數(shù)，5個偶數(shù)，所以|a₁+a₂+…+a₁₀|一定是奇數(shù)，所以|a₁+a₂+…+a₁₀|≥1，可得結(jié)論；解法二：確定|a1+a2+…+a10|=

1

2

|a112-11|，因為離11最近的奇數(shù)的平方是 9，所以有|a1+a2+…+a10|≥

1

2

|9-11|=1，可得結(jié)論．

解答： 解：（1）a₃可能取的值 3，-3，1，-1                 …．（2分）
（2）存在                                                …．（3分）
這個數(shù)列的前6項可以為 1，-2，1，-2，1，-2（或者取1，2，-3，-2，-1，0）…．（5分）
（3）|a₁+a₂+…+a₁₀|的最小值為1                       …．（6分）
解法一：因為a₁=1，|a_n+1|=|a_n+1|，所以a_n∈Z，且所有的奇數(shù)項都為奇數(shù)，偶數(shù)項為偶數(shù)
因此a₁，a₂，…，a₁₀中一定有5個奇數(shù)，5個偶數(shù)，
所以|a₁+a₂+…+a₁₀|一定是奇數(shù)，所以|a₁+a₂+…+a₁₀|≥1
令這10項分別為1，-2，1，-2，1，-2，1，-2，1，2（或者為1，2，-3，-2，-1，0，1，2，3，-4，或者為1，2，3，-4，-3，-2，-1，0，1，2）
則有|a₁+a₂+…+a₁₀|=1…．（10分）
解法二：因為a₁=1，|a_n+1|=|a_n+1|，所以a_n∈Z，且所有的奇數(shù)項都為奇數(shù)，偶數(shù)項為偶數(shù)
又因為(an+1)2=(an+1)2所以(an+1)2-(an)2-1=2an
所以有a112-a102-1=2a10a102-a92-1=2a9
…a32-a22-1=2a2a22-a12-1=2a1
把上面的10個式子相加，得到a112-a12-10=2(a1+a2+…+a10)
所以有|a1+a2+…+a10|=

1

2

|a112-11|
因為離11最近的奇數(shù)的平方是 9，所以有|a1+a2+…+a10|≥

1

2

|9-11|=1
令這10項分別為1，-2，1，-2，1，-2，1，-2，1，2（或者為1，2，-3，-2，-1，0，1，2，3，-4，或者為1，2，3，-4，-3，-2，-1，0，1，2）
則有|a₁+a₂+…+a₁₀|=1…．（10分）

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，考查學生分析解決問題的能力，有難度．