Question

已知f(x)=

1

3

ax3-a2x，函數(shù)g(x)=

4x

3x2+3

，x∈[0，2]
（1）當(dāng)a=1時，求f（x）在點（3，6）處的切線方程；
（2）求g（x）的值域；
（3）設(shè)a＞0，若對任意x₁∈[0，2]，總存在x₀∈[0，2]，使g（x₁）-f（x₀）=0，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將a=1代入求出函數(shù)f（x）的解析式，然后求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)k=f'（3）=8，過點（3，6），可得到切線方程．
（2）先求出g（0）=0，然后當(dāng)x≠0時，對g（x）分子分母同時除以x構(gòu)成g(x)=

4

3

•

1

x+ 1 x

，再由基本不等式可求出g（x）的范圍，進而確定函數(shù)g（x）的值域．
（3）先可以確定函數(shù)g（x）的值域是函數(shù)f（x）的值域的子集，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）在[0，2]上的值域的問題．對函數(shù)f（x）進行求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)等于0求出x的值，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在[0，2]上的單調(diào)性，可表示出函數(shù)在[0，2]上的值域，再由函數(shù)g（x）的值域是函數(shù)f（x）的值域的子集可得到答案．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時，f(x)=

1

3

x3-x，
∴f'（x）=x²-1，f'（3）=8
∴切線方程為y-6=8（x-3），即8x-y-18=0
（2）g(x)=

4x

3x2+3

x∈[0，2]
x=0時g（x）=0，0＜x≤2時，g(x)=

4

3

•

1

x+ 1 x

≤

4

3

•

1

2 x• 1 x

=

4

3

•

1

2

=

2

3

，
且g（x）＞0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時上式取等號即0＜g(x)≤

2

3

，
綜上，g（x）的值域為[0，

2

3

]．

（3）設(shè)函數(shù)f（x）在[0，2]上的值域是A，若對任意x₁∈[0，2]．
總存在x₀∈[0，2]，使g（x₁）-f（x₀）=0，∴[0，

2

3

]⊆A
由f(x)=

1

3

ax3-a2x得f′(x)=ax2-a2=a(x+

a

)(x-

a

)，x∈（0，2）
令f'（x）=0，得x=

a

或x=-

a

（舍去）
（i）0＜

a

＜2時，x，f'（x），f（x）的變化如下表：

∴f(0)=0， f(

a

)＜0．∴f(2)=

8

3

a-2a2≥

2

3

，解得

1

3

≤a≤1
（ii）當(dāng)

a

≥2時，f'（x）＜0∴函數(shù)f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減．
∵f(0)=0，f(2)=

8

3

a-2a2＜0，∴當(dāng)x∈[0，2]時，不滿足[0，

2

3

]⊆A
綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是[

1

3

，1]．

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負之間的關(guān)系和函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．導(dǎo)數(shù)是高考必考題，要準備充分．