Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），A，F(xiàn)分別為橢圓C的左頂點和右焦點，過F的直線l交橢圓C于點P，Q．若AF=3，且當直線l⊥x軸時，PQ=3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線AP，AQ的斜率分別為k₁，k₂，問k₁k₂是否為定值？并證明你的結(jié)論；
（3）記△APQ的面積為S，求S的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,壓軸題,探究型,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：對第（1）問，由AF=3，PQ=3，及a²=b²+c²可求得a²，b²；
對第（2）問，可先設(shè)直線PQ的方程與P，Q的坐標，聯(lián)立直線與橢圓的方程，由韋達定理建立交點坐標的關(guān)系，將k₁k₂用坐標表示，再探求定值的存在性；
對第（3）問，根據(jù)S_△APQ=

1

2

AF•|y1-y2|，將|y₁-y₂|用參數(shù)m表示，從而得到面積關(guān)于m函數(shù)，根據(jù)此函數(shù)的形式特點，可求得面積的最大值．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓的右焦點為F（c，0），c＞0，則a²=b²+c²，…①
由AF=3，得a+c=3，…②
又當直線l⊥x軸時，P，Q的橫坐標為c，將x=c代入

x2

a2

+

y2

b2

=1中，得y=±

b2

a

，
則PQ=

2b2

a

=3，…③
聯(lián)立①②③，解得a²=4，b²=3，c²=1，
所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．                   
（2）k₁k₂為定值-

1

4

．證明如下：
顯然，直線PQ不與y軸垂直，可設(shè)PQ的方程為x=my+1，
聯(lián)立橢圓方程

x2

4

+

y2

3

=1，消去x并整理得（3m²+4）y²+6my-9=0，
又設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由韋達定理得

y1+y2=- 6m 3m2+4 y1y2= -9 3m2+4

從而x₁+x₂=（my₁+1）+（my₂+1）=

8

3m2+4

，x₁x₂=（my₁+1）（my₂+1）=

-12m2+4

3m2+4

，
所以k1k2=

y1y2

(x1+2)(x2+2)

=

y1y2

x1x2+2(x1+x2)+4

=

-9 3m2+4

-12m2+4 3m2+4 + 16 3m2+4 +4

=

-9

36

=-

1

4

，
即k1k2=-

1

4

，故得證．                      
（3）由（2）知，

y1+y2=- 6m 3m2+4 y1y2= -9 3m2+4

所以S=

1

2

AF•|y1-y2|=

3

2

|y1-y2|=

3

2

(y1+y2)2-4y1y2

=

3

2

(- 6m 3m2+4 )2+ 36 3m2+4

=18

m2+1 (3m2+4)2

=18

m2+1 9(m2+1)2+6(m2+1)+1

=18

1 9(m2+1)+ 1 m2+1 +6

．
令t=m²+1，t≥1，
則S=

18

9t+ 1 t +6

（t≥1），設(shè)函數(shù)g(t)=9t+

1

t

（t≥1），
由(9t+

1

t

)′=9-

1

t2

=

9t2-1

t2

＞0知，g（t）在[1，+∞）上為增函數(shù)，
得t=1，即m=0時，[g(t)]min=9×1+

1

1

=10，
此時S取得最大值為

18

10+6

=

9

2

．

點評：1．求橢圓的方程，只需確定a²，b²，需要建立關(guān)于a，b，c的三個不同的方程．
2．要獲得定值，往往需要消參，韋達定理的運用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的思想．
3．面積的最值問題，一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題來處理．常利用函數(shù)的單調(diào)性求最值，考慮導數(shù)方法來研究函數(shù)的單調(diào)性，過程顯得更為簡潔．