Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+b（a、b∈R）．
（I）若函數(shù)f（x）在x=0，x=4處取得極值，且極小值為-1，求f（x）的解析式；
（II）若x∈[0，1]，函數(shù)f（x）圖象上的任意一點的切線斜率為k，當k≥-1恒成立時，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）通過求函數(shù)的導數(shù)，函數(shù)f（x）在x=0，x=4處取得極值，就是x=0，x=4時導數(shù)為0，求出a，利用極小值為-1，求出b，可得f（x）的解析式；
（II）x∈[0，1]，函數(shù)f（x）圖象上的任意一點的切線斜率為k，k≥-1恒成立，就是導函數(shù)的值域大于-1恒成立，再用二次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系，求實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（I）由f′（x）=-3x²+2ax得x=0或x=

2a

3

.
∴

2a

3

=4得a=6．（3分）
當x＜0，f′（x）＜0．當0＜x＜4時，f′（x）＞0．
故當x=0時，f（x）達到極小值f（0）=b，∴b=-1．
∴f（x）=-x³+6x²-1；（6分）
（II）當x∈[0，1]時，
k=f′（x）=-3x²+2ax≥-1恒成立，
即令g（x）=3x²-2ax-1≤0
對一切x∈[0，1]恒成立，（9分）
只需

g(0)=-1≤0 g(1)=2-2a≤0

即a≥1．
所以，實數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）．（12分）

點評：本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，函數(shù)恒成立問題，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，二次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系，是中檔題．